线性拓扑空间一些泛函存在性的特征

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1、教学年刊17A：6(1996)，657-664线性拓扑空间一些泛函存在性的特征6-7一f卅／7弓罗跃虎捷要n本文研究线性拓扑空间上存在连续(七)范教、，)半范教的特征，给出一类赋范空问上存在无界且在某点半连续的(．)凸泛函的特征是≥2～，给出可赋()一范空间可赋与范的精碲关系．本文结果推广了文【6_9】中的有关结果．莞t词线性拓扑空间赋范空何．半范教．凸泛函MR(1991】主置分类46A———一厦自．稚丝中圈涪分类0177．3姐，引言武菡窆泛函分析中的一个著名结果是_2Jl[n，上不存在非零连续线性泛函1984年定光桂将此结果推

2、广为定理A设p(。)是，上级绝对齐性泛函(0<卢<1)．若p()在某球(。0)上“下半连续’’或“狭上半连续’’，则p(z)=0，∈zZ[a，川．随后相继有作者对此结果进行推广i7-~1．正如【5,8}9]指出的那样，定理A的条件已蕴含p)在整个空阃上连续．文对一般拓扑空间上更广的一类泛函一(卢，)半范数一给出了如下结果：定理B若是赋P范空间且上不能赋更粗的P+￡半范数f即上不存在非零、连续的P+E半范数)，那么上存在非零、连续的(卢，)半范数的充要条件是：2暑一(1，0

3、P，X是可赋P范的，但是反之不真．『9]通过引入(k)范空间的概念，指出了赋(卢，k)空间与赋P范空问的关系如下：设是可分离的拓扑线性空间．如果是可赋P范空问，那么必是可赋(卢，k)范空问，其甲和满足不等式k=2；；反过来，如果是可，k)范空间．那么对任何满足不等式0

4、995年9月1日收到．1996年2月22日收到修改稿．山西太学教学系，太原030006国家自然科学基垒、山西省青年科学基金和山西省自然科学基金资助的项目数学年刊17卷A辑本文引入(卢，k)凸泛函它显然包含了(卢，k)半范数，通过对(卢，k)凸集性质的讨论并寻找(卢，k)绝对凸集1与(k)半范数之问的关系，给出了如下结果：(1)得到一类赋范空间上存在无界且在某点半连续的(卢，k)凸泛函的特征；(2)得到了线性拓扑空间上存在连续k)范数(卢，k)半范数的特征；(3)得到了线性拓扑空间可赋(卢，)与可赋P范0=—1+—1o~一K)的等

5、价性；线性拓扑空间可赋(卢，k)范与它上存在(卢，k)有界绝对凸集的等价性；(4)得到了线性拓扑空问上存在非零、连续(，k)半范数与它上存在非零、连续P次加泛函(P=)的等价性．这样我们在赋P范空闻中得到：定理B中的条件‘上不能赋更粗的P+E半范数’￡也是其结论‘上存在非零连续的(，k)数的充要条件是k2；-1(k≥1，0

6、k-吉(^l+)∈，∈^l，^2≥0，^+^g=1(2．1)称X中所有包含U的卢凸集的交为U的卢凸包，记作。叩．k()；称集合扛EX，()<1)V为，的支撑核，记作s(，】：称，为上的(卢，k)凸泛函，如果满足条件>／(k一专(^l+^2))^，()+^g，()，Vx，∈X，^1，^2≥0，^+^g=1．c20．2)1<一显然，(1，1)凸集即为凸集，(1)凸集即为卢一凸集(1，1)凸泛函即为凸泛函卢半范数为卢凸泛函；当U为均衡集【。1时，卢凸集即为卢绝对凸集，(卢，1)凸集即<为一卢．绝对凸集_3】．定义2、2设是赋范空间．如

7、果对任何自然数n都存在∈X，1i2“使得(23)则称是可离的；如果存在的稠密子集满足条件：对仨何∈A都存在>0，>0使对任何自然数都有分解式：壹lMc，1≤2n，(2_41i=1一则称是非有原子的，称为X的非原子核，称不是非有原子的赋p-范空间为有原子的．显然，赋范线性空间是非有原子的和可离的，z是可离的，【0，是非有原子的和可离的，文[8】所讨论的空间(，)，当是一可加的无原子测度时，是非有原子的和可离的．6期罗跃虎线性拓扑空间一些泛函存在性的特征命题2．1设为线性空间，u是中含原点0的集合，记22，(u)={k-∑>0j∑^

8、=∈U,n=23t：1：1n2J+1—12+1—1。，‰({∑t，f-0／=211一oI1，，⋯}1ft2zl。D1J(2．7)则，k(u)，G1，k(u)为凸集且有关系，k(U)Cc。，()C，()CkhGa，k()．(2．8)∑^㈦当=1时，^>一，(U)=