最优控制变分法

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1、第一章变分法1.1泛函1.2变分的推演1.3Euler方程1.4向量情形1.5有约束的情形1.6端点可变情形1.7变分的另一种定义1.1泛函（1）定义（泛函）泛函是一映射L:JK,JY,Y为一向量空间，K一般为实数域R或复数域C。这说明泛函是一种变换，它把向量空间Y中某一子集J映射为K的某个子集。例：曲线的弧长在xy平面上过A（x,y）,B(x,y)两点之间的曲线弧长公式为1122x22AB1y'dxx1通过A，B两点的函数若为yf(x)，则不同的函数有不同的弧长，即弧长是y的函数，记为J

2、(y)，即x22AB1ydxJ(y)x1因此，求弧长的定积分是一种变换，它把x与x之间各点相应12的y变换为标量（弧长）。由此例可以看出定积分为泛函。以下是各章经常要用到下列形式的目标函数tfJ[x(t),t](x(t),u(t),t)dtfft0式中，t为时间，t0为开始时间，tf为终时，x(t)为状态向量，u(t)为控制向量，x(tf)为状态向量终态。和都是标量函数。上式中，第一项把向量x(tf)及tf变换为标量，的确为泛函（此外，也只不过是普通的标量函数）；第二项定积分把t及向量x

3、(t)和向量u(t)构成的标量函数变换为标量，也为泛函。泛函之和仍为泛函。因此，目标函数也有目标泛函之称。（2）定义（函数空间中的距离）连续函数空间C[a,b]是一种抽象空间，其中每一点表示一条连续曲线，（C为continuous的第一个字母；闭区间[ａ,ｂ］表示函数的定义域）。C[a,b]空间中两点间的距离定义为maxdF0

4、()()

5、xGxd称为零级距离xab[,]maxd1

6、F(x)G(x)

7、,dmax(d0,d1)称为第一级距离。x[a,b]maxd2

8、F(x)G(x)

9、,d

10、max(d0,d1,d2)称为第二级距离。x[a,b]………………max(n)(n)dn

11、F(x)G(x)

12、,dmax(d0,d1,d2.,dn)x[a,b]称为n级距离该定义说明在闭区间[a,b]内，两条曲线纵坐标的差取绝对值（因距离总为正），并从所有绝对值中找出最大的作为零级距离。如果零级距离很小，表示两条曲线很靠近。但是零级距离小并不能保证两条曲线形状相同，因此还要看一阶导数，二阶导数……，n阶导数是否接近。由于一级距离是从d，d取出最大的一个形成的，所以一级距离01小就表示两条曲线的距离很近。

13、对于二级距离，……，n阶距离的解释可以类推。（3）定义（n级ε邻区和泛函求极值）以函数yˆ(x)(x)和(x)为中心，由构成的带状（ε为无穷小量），称为函数yˆ(x)的ε邻区。若有另一个函数yF(x),yˆ和y的零级距离落入ε邻区内，称该邻区为零级邻区。N级邻区的定义可以类推。所谓泛函求极值就是：设存在极值曲线yˆ(x),寻找yF(x)使y落入yˆ的n级邻区内，则yF(x)就是所求的极值曲线。（4）定义（泛函的极值）设J(y)为泛函，y为规定的区域内可以取的曲线（简称可取曲线），y

14、ˆ为极值曲线。若J(yˆ)J(y)则称泛函有极小值。该定义说明泛函极小值存在的充分条件为J(yˆ)J(y)0.同样泛函极大值存在的充分条件为：J(yˆ)J(y)0;1.2变分的推演考虑如下泛函求极值问题x1J(y)F(x,y(x),y(x))dxx0式中，F为x,y(x),及y(x)的函数。虽然以下的推演可以推广到目标函数中具有高阶导数的情况，但在自动控制中都是用一阶的状态向量方程描写系统的，因此目标函数中通常不出现二阶以上的高阶导数。设极值曲线为yˆyˆ(x),可取曲线为yy(x).若yˆ和y

15、的差用表示，则yˆ(x)y(x)(x),显然是x的函数，因为不同x时yˆ和y的差是不同的（当然也可以令y(x)yˆ(x)(x),最后结果是一样的）。移项，得yˆy求导，得yˆyx1J(yˆ)J(y)[F(x,yˆ(x),yˆ'(x))F(x,y(x),y'(x))]dxx0x1[F(x,y,y)F(x,y,y')]dxx0回顾多元函数的中值定理，若有函数F(x,y,z),而一阶偏导数Fx,Fy,Fz存在且连续，当自变量x、y、z各有增量h、k、l时，函数的增

16、量为FxhykzlFxyz(,,)(,,)hFxxy(,,)(,,)hykzlkFxhykzl123123lFxz(,,)hykzl123式中，01,01,01123利用多元函数的中值定理，Fxy(,,y)Fxyy(,,')Fy(,xyy,)