变分法及其在最优控制中的应

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1、第二章变分法及其在最优控制中的应用在动态最优控制中,由于目标函数是一个泛函数,因此求解动态最优控制可归结为泛函极值问题。本章主要介绍变分的基本原理及如何利用变分法求解最优控制问题。如果有一类函数,对每一个函数都有一个值与之对应,则J称为函数的泛函数,简称泛函。记做,泛函数实际为函数的函数。即:泛函的值是函数的选取而定,函数的值是由自变量的选取而定。变分法的基本概念2.1.1泛函的概念1、泛函的定义:特点:函数给定后,泛函J相对于一个确定的值,如:不是泛函,因为给定时,并不等于某个固定值,而是的函数。泛函数的定义可推广到含有几个函数的情

2、况,如:最优控制常用指标:是泛函,是的函数,是的函数。在泛函中,称为泛函的宗量例如:是泛函数的值由的选取而定若则若则泛函极值是一个相对概念,实际为相对于的一个微小变化,变化形式有上述两种:<1><2>2、泛函的极值的定义:若泛函在任何一条与曲线接近的曲线上的值均不小于,即:,则称泛函在曲线上达到极小值。(1)即与相差的绝对值,对定义域中的一切均很小,则称与接近零阶接近度,由此推出的为弱相对极小。(2)则称与相差微小或接近一阶接近度,为强相对极小。具有一阶接近度必然具有零阶接近度。3、泛函的变分的定义:求泛函的极值问题称为变分。中,称为

3、泛函的宗量(泛函的变量)。宗量的变分:若相应的最优函数为,则可表示为::称为y(x)的变分,也为独立自变量x的函数。:AB间的距离函数BA(1)泛函变分可定义为:设其中,均为的函数例如:最短距离问题[A、B间的距离]如图::AB间的弧长函数泛函的变分可通过增量形式求取:泛函增量为:式中:是的线性连续泛函是关于的高阶无穷小定义:即泛函的变分为其相应增量的线性函数,且称泛函是可微的注意:泛函的变分是唯一的。即:==则可以证明:=例:求泛函的变分解:===为的线性主部,因此有:当:时当:时(1,1)(1,0.2)(1,0.1)<定理1>如果

4、泛函是可微的,则泛函的变分为:证明从略,见P页证明进一步,多元函数的变分为:即:变量则(定理1引出结论)若证明见书。则有:<定理2>:若可微泛函在上达到极值,则在上的变分等于0,即证明较简单,见书。变分规则:<1><2><3><4>泛函的极值的必要条件——欧拉方程(以单变量为例,可推广)已知。终端状态满足:目标函数:问题:求,使被控过程状态由转移到,并使目标函数最小。.无约束条件的最优化问题目的:求出最优控制,使为最小。方法:变分法设被控过程状态方程为:解:把<1>式化为u的显函数形式,即代入<4>式,则有:事实上求解,就化为求,使设

5、为容许轨线,为最优轨线,即邻域中的一条容许轨线则有:.将<6>,<7>式代入<5>式,并将在最优点附近展开成泰勒级数,则有:==为和的高阶无穷小。的增量为:由变分的定义可知:的变分为:泛函取极值的必要条件:即:<8>式就变为:若独立,可任意取值,若使,必有:欧拉方程<10>横截条件2.欧拉方程的全导数形式基础知识:设函数则:在<10>式中,为全导数令==其中:所以式<10>的全导数欧拉方程形式为:欧拉方程的全导数形式横截条件,又称为边界条件3.横截条件的分析<1>,都固定,图a即即<2>固定,自由图b即因为自由所以终端仅在上滑动求出最

6、优许多状态轨线<3>自由,固定,图c则横截条件变为:终端仅在上滑动<4>端点变动的情况:(3.2.2)1>自由端点,无约束条件的变分,如图:始点在曲线上变动终点在曲线上变动)(tx两个端点都是自由的设泛函为使的求取的必要条件:当函数由时,则:=—注:=+—=——.)(tx对函数在处进行泰勒展开,则:积分中值定理a可得:由泛函取极值的必要条件:则有:<1>欧拉方程:<2>横

7、截条件:横截条件的分析:1)若两个端点均为自由,横截条件为<3-76>….<3-76>3)始点自由,终端固定,则有:4)如果两个端点分别在直线及上变化,则有:因为同于前面欧拉方程以及横截条件的分析2)若始端点固定端点自由,则有:例1:求固定点A(0,1)到给定直线的弧长最短的曲线方程解:弧长公式[A到直线]为:2A012t所以属于始端固定,终端自由的情况根据欧拉方程:经积分所以,则由终端条件:则:解得:所以可以证明,与正交,且---横截条件3.2.2目标泛函取极值的充分条件[自学]欧拉方程是求解泛函极值的必要条件,而非充分条件,J取极

8、大值还是极小值,还需进一步加以判断.结论:取极小值,阵为正定或半正定取极大值,阵为负定或半负定3.2.3欧拉方程和横截条件的向量形式(自学)目标函数J[x]=标量函数标量函数已知,已知,未定,受终端目标集约束上述单变量系

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