变分法及其在最优控制中应

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1、第二章变分法及其在最优控制中的应用在动态最优控制中，由于目标函数是一个泛函数，因此求解动态最优控制可归结为泛函极值问题。本章主要介绍变分的基本原理及如何利用变分法求解最优控制问题。如果有一类函数,对每一个函数都有一个值与之对应，则J称为函数的泛函数，简称泛函。记做，泛函数实际为函数的函数。即：泛函的值是函数的选取而定，函数的值是由自变量的选取而定。变分法的基本概念2．1．1泛函的概念1、泛函的定义：特点：函数给定后，泛函J相对于一个确定的值，如：不是泛函，因为给定时，并不等于某个固定值，而是的函数。泛函数的定义可推广到含有几个函

2、数的情况，如：最优控制常用指标：是泛函，是的函数，是的函数。在泛函中，称为泛函的宗量例如：是泛函数的值由的选取而定若则若则泛函极值是一个相对概念，实际为相对于的一个微小变化，变化形式有上述两种:<1><2>2、泛函的极值的定义：若泛函在任何一条与曲线接近的曲线上的值均不小于，即：，则称泛函在曲线上达到极小值。（1）即与相差的绝对值，对定义域中的一切均很小，则称与接近零阶接近度，由此推出的为弱相对极小。（2）则称与相差微小或接近一阶接近度，为强相对极小。具有一阶接近度必然具有零阶接近度。3、泛函的变分的定义：求泛函的极值问题称为变

3、分。中，称为泛函的宗量（泛函的变量）。宗量的变分：若相应的最优函数为，则可表示为：：称为y(x)的变分，也为独立自变量x的函数。：AB间的距离函数BA(1)泛函变分可定义为：设其中，均为的函数例如：最短距离问题[A、B间的距离]如图：：AB间的弧长函数泛函的变分可通过增量形式求取：泛函增量为：式中：是的线性连续泛函是关于的高阶无穷小定义：即泛函的变分为其相应增量的线性函数，且称泛函是可微的注意：泛函的变分是唯一的。即：==则可以证明：=例：求泛函的变分解：===为的线性主部，因此有：当：时当：时(1,1)(1,0.2)(1,0.

4、1)<定理1>如果泛函是可微的，则泛函的变分为：证明从略，见P页证明进一步，多元函数的变分为：即：变量则（定理1引出结论）若证明见书。则有：<定理2>：若可微泛函在上达到极值，则在上的变分等于0，即证明较简单，见书。变分规则：<1><2><3><4>泛函的极值的必要条件——欧拉方程（以单变量为例，可推广）已知。终端状态满足：目标函数：问题：求，使被控过程状态由转移到，并使目标函数最小。.无约束条件的最优化问题目的：求出最优控制，使为最小。方法：变分法设被控过程状态方程为：解：把<1>式化为u的显函数形式，即代入<4>式，则有：事

5、实上求解，就化为求，使设为容许轨线，为最优轨线，即邻域中的一条容许轨线则有：.将<6>，<7>式代入<5>式，并将在最优点附近展开成泰勒级数，则有：==为和的高阶无穷小。的增量为：由变分的定义可知：的变分为：泛函取极值的必要条件:即：<8>式就变为：若独立，可任意取值，若使，必有：欧拉方程<10>横截条件2．欧拉方程的全导数形式基础知识：设函数则：在<10>式中，为全导数令==其中：所以式<10>的全导数欧拉方程形式为：欧拉方程的全导数形式横截条件，又称为边界条件3．横截条件的分析<1>,都固定，图a即即<2>固定,自由图b即因

6、为自由所以终端仅在上滑动求出最优许多状态轨线<3>自由，固定，图c则横截条件变为：终端仅在上滑动<4>端点变动的情况：（3.2.2）1>自由端点，无约束条件的变分，如图:始点在曲线上变动终点在曲线上变动)(tx两个端点都是自由的设泛函为使的求取的必要条件：当函数由时，则:=—注：=+—=——.)(tx对函数在处进行泰勒展开，则：积分中值定理a可得：由泛函取极值的必要

7、条件：则有：<1>欧拉方程：<2>横截条件：横截条件的分析：1）若两个端点均为自由，横截条件为<3-76>….<3-76>3）始点自由，终端固定，则有：4）如果两个端点分别在直线及上变化，则有：因为同于前面欧拉方程以及横截条件的分析2)若始端点固定端点自由，则有：例1：求固定点A（0，1）到给定直线的弧长最短的曲线方程解：弧长公式[A到直线]为：2A012t所以属于始端固定，终端自由的情况根据欧拉方程：经积分所以，则由终端条件：则：解得：所以可以证明,与正交,且---横截条件3.2.2目标泛函取极值的充分条件[自学]欧拉方程是求

8、解泛函极值的必要条件,而非充分条件,J取极大值还是极小值,还需进一步加以判断.结论:取极小值，阵为正定或半正定取极大值，阵为负定或半负定3.2.3欧拉方程和横截条件的向量形式（自学）目标函数J[x]=标量函数标量函数已知，已知，未定，受终端目标集约束上述单变量系