函数中恒成立问题

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1、课题：函数中恒成立问题求解策略知识要点恒成立问题在高中数学中较为常见，从解题策略来看，主要有以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；数型结合型。1、一次函数型-----利用单调性求解给定一次函数y=f(x)=ax+b(),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象（线段）(如下图)可得上述结论等价于(1)a>0或（2）a<0可合并成f(m)>0f(m)>0f(n)>0f(n)>0同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0,则有f(m)<0f(n)<0[例1]对于满足的所有实数a

2、，求使不等式恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x及a，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将a视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a的一次函数大于零恒成立问题。解：原不等式转化为在时恒成立，设，则f(a)在[-2，2]上恒大于0，故有：f(-2)>0,f(2)>0,即，解得x>3或x<1,x>1或x<-1.∴x<-1或x>3，即2、二次函数型-----利用判别式，韦达定理及根的分布求解对于二次函数在实数集R上恒成立问题可利用判别式直接求解，即f(

3、x)>0恒成立a>0,f(x)<0恒成立a<0<0;<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。[例2]已知定义域为R的函数是奇函数。（1）求a、b的值；（2）若对任意的，不等式恒成立，求k的取值范围。解：（1）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即又由f(1)=-f(-1)知（2）由（1）知易知f(x)在上为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：等价于，因f(x)为减函数，由上式推得：，即对一切有：，从而判别式=4+12k<0k<-.3、变量分离型-

4、----分离变量，巧妙求解运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则;若对于f(x)取值范围内任何一个数，都有f(x)

5、x+1

6、-

7、x-2

8、>ax-3恒成立，求实数a取值范围。分析：构造函数y=

9、x

10、+1

11、-

12、x-2

13、,与函数y=ax-3,,对任意实数，不等式

14、x+1

15、-

16、x-2

17、>ax-3恒成立，即转化为函数y=

18、x+1

19、-

20、x-2

21、,的图象始终在函数y=ax-3，的图象的上方，画出函数的图象即可求得a的取值范围。解：y=

22、x+1

23、-

24、x-2

25、=-32x-1在直角坐标系中画出图象如图所示，函数y=ax-3，的图象是过定点（0，-3）的一条射线，由图象可看出，要使对任意实数，不等式

26、x+1

27、-

28、x-2

29、>ax-3恒成立，只需0〈a<3，故实数a的取值范围是。