理解行列式的定义与性质

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1、1第一章行列式要求：1）理解行列式的定义与性质；掌握三阶行列式的对角线计算方法；2）利用性质和展开定理会计算四阶行列式以及简单n阶行列式。3）掌握克莱姆法则。2.1排列与逆序知识点:排列;逆序;对换。一、排列定义1（排列）n个不同自然数1,2,L,n组成的一个有序数组p,p,L,p称作为n12n级排列，其中每个自然数p称作（第i个）元素。i如213是一个3级排列。强调“有序”.那么1，2，3可以有多少种不同的排列呢？一一列出，共有6种。乘法原理3个自然数共有3×2×1=3!=6种不同排列。用P表示所有n级不同排列的种数。故P=3!=6；。不难得到：n3

2、P=n(n−1)L2⋅1=n!.n二、逆序标准顺序n个不同自然数按从小到大自然顺序的排列，称之为（n级）排列的标准顺序。如123是一个（3级）标准顺序的排列。定义2（逆序）在ppLp中，若有p>p(s

3、个元素p的逆12ni2序数为：在ppLp中比p大的个数，记为t。于是12i−1iinτ(p1p2Lpn)=t1+t2+L+tn=∑ti.i=1例1计算τ(32415)和τ(n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅L⋅2⋅1)。解τ(32415)=4。n(n−1)τ(n⋅(n−1)⋅(n−2)⋅L⋅2⋅1)=0+1+2+L+(n−2)+(n−1)=。2三、对换定义3（对换）在某个n阶排列中，任意对换两个元素的位置（如对换p与p的位置），st其余元素不动，称作该排列的一个对换。可记作pLpLpLp⎯(⎯→ps,⎯pt)pLpLpLp.1stn1tsn定理1对换改变排列

4、的奇偶性。(1,2)例如：τ(123)=0，偶排列，123⎯⎯→⎯213.奇排列。证明（1）相邻位置元素的对换。设(p,q)aLapqbLb⎯⎯→⎯aLaqpbLb.1l1m1l1m并设t=s,t=s,对换之后，q,p的逆序数分别是l+11l+22⎧s2−1,p>q⎧s1,p>qtl+1=⎨,tl+2=⎨,s,p

5、1次相邻元素的对换：aLacLcqpbLb；1l1m1k3再作m次相邻元素的对换：aLaqcLcpbLb1l1m1k共2m+1次相邻位置对换，由（1），两个排列的奇偶性不同。■推论1任意n级排列ppLp，都可以对换成标准顺序排列1⋅2Ln，且对换次数的奇12n偶性与排列ppLp具有相同的奇偶性。12n例2把32415对换成标准顺序的排列。(1,3)(3,4)解32415⎯⎯→⎯12435⎯⎯→⎯12345是一个偶排列。强调：不一定成立τ(32415)=2，事实上，τ(32415)=4。推论2在所有n级排列ppLp中，奇偶排列各占一半(n!/2)。12n

6、证明：设奇排列有s个，偶排列有t个。将每一个奇排列中的前二个元素对换，都得到偶排列，显然s≤t；同理可得t≤s。2.2行列式的定义知识点:n阶行列式的定义（通过三阶行列式的三个特征引进）；一、2阶、3阶行列式2由2=4个数，按下列形式排成2行2列的方形aa1112，记作D2aa2122aa1112其被定义为一个数：=aa−aa，11221221aa21223由3=9个数组成的3行3列的3阶行列式，则按下列形式定义为一个数aaa111213aaa=aaa+aaa+aaa212223112233122331132132D=3aaa313233−aaa−aa

7、a−aaa132231112332122133一般2阶,3阶行列式的计算可按对角线法得到。4301111例3（1）计算1−50的值。（2）求23x=0的根。212−149x301111解（1）1−50=22（2）23x=(x−2)(x−3)=0212−149x三阶行列式定义的特征：（1）共有3！=6项相加，其结果是一个数；（2）每项有3个数相乘：aaa，而每个数取自不同行不同列，即行足标固定为1p12p23p3123，列足标则是1，2，3的某个排列ppp；123（3）每项的符号由列足标排列ppp的奇偶性决定，即符号是(−1)τ(p1p2p3)。123故

8、三阶行列式可写成aaa111213D=aaa=∑(−1)τ(p1p2p3)aaa3212223