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《微分方程零解的全局稳定和全局渐近稳定的充要条件_祝浩锋》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、微分方程零解的全局稳定和全局米渐近稳定的充要条件数学教研室祝浩锋本文讨论扰动矢量方程,,*、_d~.,一下罗一一I、LX夕(l)dt:x=x:,xZ,,x。Tn,,xx.其中(……)是R空I’ed的矢量f(t)是定义在IR空l’u,O簇t<+co}!x{}<+co(2)n,,二,,上的维连续矢量函数f(t0)O满足解的存在及唯一性条件并且假定解可以开拓。t=+co到约x=x;x。,t。x(t。=x。。定(t)表示方程(1)满足初始条件)的解。本文的目的在于提出微分方程(l)的零解全局稳定和全局渐近稳定的充要条件x=。足`二:x”定理1方程(l)的零解全局稳定的充要条件是在1R空间。,x+
2、`t)t1}}{0,其实对任意给定的取r=upV(t。,xo,M()S)>xr1!!}(4):xor,tt。,则由(式知当1}11(时对一切的》有米本文写于1980年7月一1一,x,x`,。。,x.r((tt))(V(tV)簇tM()又因为,x,,248:r,V(t)是无限大定正函数所以由著作〔〕P3引理1知存在R()。,对一切的t)t适合x
3、t;x。,t。r]I()}}(R()因而,由著作4:。〔1〕中定义知方程(l)的一切解有界,x二。所以方程(1)的零解O全局稳定,..any。、,必要性设方程(1)的零解全局稳定即零解AM月H稳定且一切解。有界取V(,x=upx+T;、,t)5)t)S}l(t1}(t》O则t,x))It;x,t=xV(卜()111l}}。x)=x令W(1}l!,x0,x)>,o=,显然对一切的等有W(o而W()0且。1imw(x)=limx=+co}{}}x+co}}x+co1}l}`l!,,,。所以V(tx)是无限大定正函数。,又对任给的t>t则由(5)式知V(,xt;x。,t。=upxt+丫;xt;
4、x。,t。,tt())S】l(())!IT)0。,。。,。;x。,。。。。,。,。.V(tx)=V(tx(tt))=SupIlx(t+:;x(t;xt)t)1.下)O:tt。,从而知对一切的),x;x.,。。,x.。V(t(tt))(V(t)`〕,,推论1〔若对方程(1)存在无限大定正函数函数V(tx)通过方程(1)的全导数具有形式(1)`,,,(V,令}“:。〔3〕;,,。其中入(t)于t)t时基本为负甲(0)=0pr(V)>0当V>0时。x=则方程(1)的零解。全局稳定,证明在推论的条件下有一2一,xt。,。(;xt))dyrtv。,簇、入(,)d,簇oI。,x“V(t)甲(V)J所
5、以,;xx。,。。,x“V(t(t;t))簇V(t),:。因而由定理1的充分性部份知方程(1)的零解全局稳定2:,推论若对方程(l)存在无限大定正函数V(tx)通过方程(l)的全导数满足(1,`0半,。则方程(1)的零解x=O全局稳定的,“,其实由(1)(立即可得登},。,。。,。V(tx(t;xt))簇V(tx)例1x,一yZx+一x一,dl)盖〔(,)告()惫〕=一X宁二-气X愉dt艺!(6),、,_..,_、:,、、1去告告=勺下,气X一y(Z`气盖甲y/甲、X一y/J一y粤乙x,y)=x+y)+二一y取v((号()亏(7)`,x,,.显然V(y)在区域(3)内是定正的且此函数在区
6、域(3)内通过方程组(6)的全导数,。、。,x+y=。x一y=,,yx不能处处存在实因在直线及。上vx()对或等、Ul。y的偏导数均不存在,但在区域(3)内部当x+,共ox一y污0时=X+,一·+二一,,一一。6,〔`,`(`半】普(奈争)(奈斋)〕=一以x+y)髻+(x一,)叠〕二一V`X,y’<。,粤(8)O普,在x+y=ox一y气0(即直线x+y=o上的非原点)上时一3一十一d(x+y)==、巨矛.吸、,。J.奈烹dt一一`一d(xy)=(”箭斋一dt:x十y“。由此说明当积分轨线跑到直线,,x+y=。上时积分轨线的方向延着指向原点即此刻x+y,一,,不变xI州减小因而x,二+,_
7、。=x一。v(y)}(y声减小同理在区,3)内部当积分轨线跑到直线x一y二0域(,x,二一;.。·二+y。上的时刻有v(;)一(卢减小一,8):t,由此并注意到(式知当增加时方程组(6)决定的方向场中在直x;x“,y“,t。,yt;x。,y.,t。,V((t)())减小线X+y二ox一y=o和上的方因而,tt。对一切的)都有向x“,y“,。,。,。,。x。,“。V((t;xt)y(t;xyt))(V(y),:。所以由定理1的充分性条
