高中数学第二讲直线与圆的位置关系二圆内接四边形的性质与判定定理学案新人教a版

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1、二　圆内接四边形的性质与判定定理[学习目标]1.理解圆内接四边形的两条性质定理，并能应用定理解决相关的几何问题.2.理解圆内接四边形判定定理及推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.[知识链接]1.判断下列各命题是否正确.(1)任意三角形都有一个外接圆，但可能不止一个；(2)矩形有唯一的外接圆；(3)菱形有外接圆；(4)正多边形有外接圆.提示　(1)错误，任意三角形有唯一的外接圆；(2)正确，因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误，只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多边形的中心到各顶点的距离相等.[预习导引]1.性质定理1文

2、字语言圆的内接四边形的对角互补符号语言若四边形ABCD内接于圆O，则有∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°图形语言作用证明两个角互补2.性质定理2文字圆内接四边形的外角等于它的内角的对角语言符号语言四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有∠CBE＝∠ADC图形语言作用证明两个角相等3.圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝180°(或∠A＋∠C＝180°)，那么A，B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆4.判定定理的推论文字语言如果四边形的一个外

3、角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中，延长AB到E，若∠CBE＝∠ADC，则A，B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆要点一　圆内接四边形的性质例1　如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，在AB上截取PA＝AC，以PC为直径的圆分别交AB，BC，AC于D，E，F.求证：＝.证明　连接DF，PF.∵PC是直径，∴PF⊥AC.∵BC⊥AC，∴PF∥BC，∴＝.∵四边形PCFD内接于⊙O，∴∠ADF＝∠ACP，∵AP＝AC，∴∠APC＝∠ACP.∴∠ADF＝∠APC.∴DF∥PC，∴＝，∴＝.规律方法　1.在本题

4、的证明过程中，都是利用角相等证明了两直线平行，然后利用直线平行，得到比例式相等.2.圆内接四边形的性质如对角互补，一个外角等于其内对角，可用来作为三角形相似或两直线平行的条件，从而证明一些比例式成立或证明某些等量关系.跟踪演练1　如图所示，⊙O1和⊙O2交于A，B两点，经过A点的直线分别交两圆于C，D，经过B点的直线分别交两圆于E，F.求证：CE∥DF.证明　连接AB，∵四边形ABEC内接于⊙O1，∴∠ABF＝∠C，∵四边形ABFD内接于⊙O2，∴∠ABE＝∠D.又∠ABE＋∠ABF＝180°，∴∠C＋∠D＝180°.故可得CE∥DF.要点二　圆内接四边

5、形的判定例2　如图，在△ABC中，E，D，F分别为AB，BC，AC的中点，且AP⊥BC于P.求证：E，D，P，F四点共圆.解　连接PF，∵AP⊥BC，F为AC的中点，∴PF＝AC.∵FC＝AC，∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C.∵E，F，D分别为AB，AC，BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC，∴四边形EDCF为平行四边形，∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED，∴E，D，P，F四点共圆.规律方法　1.本题证明的关键是如何使用点E、D、F是中点这一条件.2.要判定四点共圆，多借助四边形的对角互补或外角与内对角的关系进行证明.跟踪演练2　如图，在正△ABC中

6、，点D，E分别在边BC，AC上，且BD＝BC，CE＝CA，AD，BE相交于点P，求证：四点P，D，C，E共圆；证明　在正△ABC中，由BD＝BC，CE＝CA知△ABD≌△BCE，∴∠ADB＝∠BEC，即∠ADC＋∠BEC＝π.∴四点P，D，C，E共圆.要点三　圆内接四边形性质与判定的综合运用例3　如图，已知△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点(不与点A，C重合)，延长BD至E.(1)求证：AD的延长线DF平分∠CDE；(2)若∠BAC＝30°，△ABC中BC边上的高为2＋.求△ABC外接圆的面积.(1)证明　如图，∵A，B，C，D四点共圆

7、，∴∠CDF＝∠ABC.又AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，且∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠CDF.又由对顶角相等得∠EDF＝∠ADB，故∠EDF＝∠CDF，即AD的延长线DF平分∠CDE.(2)解　设O为外接圆圆心，连接AO并延长交BC于H，则AH⊥BC，连接OC，由题意∠OAC＝∠OCA＝15°，∠ACB＝75°，∴∠OCH＝60°，设圆半径为r，则r＋r＝2＋，得r＝2，外接圆的面积为4π.规律方法　1.在解答本题时用到了圆内接四边形的性质，垂径定理等知识，综合性较强.2.此类问题考查知识较为丰富，往往涉及圆内接四边形的判定与性质的证明和应用，

8、最终得到某些结论的成立.跟踪演练3　如图所示，已知四边形ABCD为平行四边形，过