矩阵乘积的逆(高等代数课件)

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1、一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定、求法§4.4矩阵的逆三、逆矩阵的运算规律四、矩阵方程一、引例一、可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB＝BA＝E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.注：①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作③单位矩阵E可逆，且②可逆矩阵A的逆矩阵　　也是可逆矩阵，且2.逆矩阵的唯一性若方阵A可逆，则其逆矩阵唯一.证明设B和C都是A的逆矩阵，则由定义有AB=BA=E，AC=CA=E，于是B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.所以逆矩阵唯一.证毕三、矩阵可逆的条件现在的问题是：在什么条件下矩阵A是可逆的？如果A可逆，怎样求A-

2、1？为此先引入伴随矩阵的概念.二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义1、伴随矩阵称为A的伴随矩阵.性质：余子式，矩阵设　是矩阵　　　　　中元素的代数证：由行列式按一行（列）展开公式立即可得,同理,非退化的），且证：若　　　　由所以，A可逆，且两边取行列式，得2、定理：矩阵A可逆当且仅当（即A得反过来，若A可逆，则有则A、B皆为可逆矩阵，且证：由定理知，A、B皆为可逆矩阵.从而再由即有，3、推论：设A、B为n级方阵，若例1判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.解：1）∴A可逆.再由有∴当　　　　　　　　　时，A可逆.且由于三、逆矩阵的运算规律(5)若A可逆，则亦可逆，且(6)

3、若A可逆，则亦可逆，且当时，定义注：则有设方阵A满足证明：与皆可逆，并求其逆.例2由即故A可逆，且再由得即故可逆，且证：得五、克拉默法则的另一证法利用矩阵的逆，可以给出克拉默法则的另一种推导法.线性方程组可以写成AX=B.(6)如果

4、A

5、0，那么A可逆.用X=A-1B代入(6)，得恒等式A(A-1B)=B，这就是说A-1B是一解.如果X=C是(6)的一个解，那么由AC=B得A-1(AC)=A-1B，即C=A-1B.这就是说，解X=A-1B是唯一的.用A-1的公式(4)代入，乘出来就是克拉默法则中给出的公式.四、矩阵方程1.线性方程组令则（1）可看成矩阵方程若A为可逆矩

6、阵，则①矩阵方程若A为可逆矩阵，则2.推广②矩阵方程若A为可逆矩阵，则③矩阵方程若A,B皆可逆，则3.矩阵积的秩定理4若可逆，则证：令又P可逆，由定理2，有故例3解矩阵方程解：一般地，可逆.注:练习已知求矩阵B．解：由，得，又可逆，且例4解下列矩阵方程AXB=C其中解由已知易得X=A-1CB-1,下面求A和B的逆阵.所以例5设n级矩阵A,B,A+B均可逆,证明(A-1+B-1)-1=A(A+B)-1B=B(B+A)-1A.证将A-1+B-1表示成已知的可逆矩阵的乘积:A-1+B-1=A-1(E+AB-1)=A-1(BB-1+AB-1)=A-1(B+A)B-1.由可逆矩阵

7、的性质可知(A-1+B-1)-1=[A-1(A+B)B-1]-1=B(B+A)-1A.同理可证另一个等式也成立.例6设A为n级方阵(n2),证明

8、A*

9、=

10、A

11、n-1.证由于AA*=A*A=

12、A

13、E,所以

14、A

15、

16、A*

17、=

18、A

19、n(4)下面分三种情形讨论:(1)

20、A

21、0,即A可逆,(4)式两端除以

22、A

23、即得

24、A*

25、=

26、A

27、n-1.(2)

28、A

29、=0,且A=O,则A*=O,结论显然成立.(3)

30、A

31、=0,但AO,反设

32、A*

33、0,则A*可逆,因而A=(AA*)(A*)-1=(

34、A

35、E)(A*)-1=

36、A

37、(A*)-1=O,故A=O,与AO矛盾,所以,

38、A*

39、=0=

40、A

41、

42、n-1.