高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理学案新人教a版

《高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理学案新人教a版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、三　圆的切线的性质及判定定理[学习目标]1.理解切线的性质定理、判定定理及两个推论，能应用定理及推论解决相关的几何问题.2.能归纳并正确表示由圆的切线性质定理和两个推论整合而成的定理.[知识链接]1.根据直线与圆公共点的个数，说明它们有怎样的位置关系？提示　直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有一个公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离.2.下列关于切线的说法中，正确的有哪些？(1)与圆有公共点的直线是圆的切线；(2)垂直于圆的半径的直线是圆的切线；(3)与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(4)过直

2、径的端点，垂直于此直径的直线是圆的切线.提示　(3)(4)正确.[预习导引]1.切线的性质定理文字语言圆的切线垂直于经过切点的半径符号语言直线l与圆O相切于点A，则OA⊥l图形语言作用证明两条直线垂直2.性质定理推论1文字语言经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点符号语言直线l与圆O相切于点A，过点O作直线m⊥l，则A∈m图形语言作用证明点在直线上3.性质定理推论2文字语言经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心符号语言直线l与圆O相切于点A，过点A作直线m⊥l，则O∈m图形语言作用证明点在直线上4.切线的判定定理文字语言经过半径的外端并

3、且垂直于这条半径的直线是圆的切线符号语言OA是圆O的半径，直线l⊥OA，且A∈l，则l是圆O的切线图形语言作用证明直线与圆相切要点一　切线的性质例1　如图所示，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB，AD⊥CD.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长.(1)证明　如图所示，连接BC.∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD.又AD⊥CD，∴OC∥AD.(2)解　∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.又AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，∴△ADC∽△AC

4、B.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.规律方法　1.本例中第(2)小题是通过三角形相似来寻找AD、AC与AB之间关系的.2.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算，有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线.从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等.跟踪演练1　如图所示，∠C＝90°，点O在AC上，CD为⊙O的直径，⊙O切AB于E，若BC＝5，AC＝12，求⊙O的半径.解　连接OE.∵AB与⊙O切于点E，∴OE⊥AB，即∠OEA＝90°.∵∠

5、C＝90°，∠A＝∠A，∴Rt△ACB∽Rt△AEO，∴＝.∵BC＝5，AC＝12，∴AB＝13，∴＝，∴OE＝.要点二　圆的切线的判定例2　已知：AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，过点A作AD∥OC，交⊙O于点D.求证：DC是⊙O的切线.证明　如图，连接OD，设∠OAD＝∠1，∠ODA＝∠2，∠BOC＝∠3，∠COD＝∠4.∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4.又∵OB＝OD，∠3＝∠4，OC＝OC.∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，

6、∴∠OBC＝90°.∴∠ODC＝90°，即OD⊥CD.∴DC是⊙O的切线.规律方法　判断一条直线是圆的切线时，常用辅助线的作法：(1)如果已知这条直线与圆有公共点，则连接圆心与这个公共点，设法证明连接所得到的半径与这条直线垂直，简记为“连半径，证垂直”；(2)若题目未说明这条直线与圆有公共点，则过圆心作这条直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径，简记“作垂直，证半径”.跟踪演练2　如图所示，在△ABC中，已知AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC，垂足为E.求证：DE是⊙O的切线.证明　连接OD和AD.∵A

7、B是⊙O的直径，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝CD，又∵AO＝BO，∴OD∥AC.∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线.要点三　圆的切线的判定与性质定理的综合应用例3　如图所示，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，延长BA到E，使AE＝AB，连接ED.(1)求证：直线ED是⊙O的切线.(2)连接EO交AD于点F，求证：EF＝2FO.证明　(1)如图所示，连接OD.∵四边形ABCD为正方形，AE＝AB，∴AE＝AB＝AD，∠EAD＝∠DAB＝90°.∴∠EDA＝45°，又∠ODA＝45°.∴∠ODE＝∠ADE＋∠ODA

8、＝90°.∴直线ED是⊙O的切线.(2)如图所示，作OM⊥AB于M.∵O为正方形ABCD的中心，∴M为AB的中点.∴AE＝AB＝2AM，又AF∥OM，∴＝＝2，∴EF＝2FO.规律方法　对圆的切线的性质与判定的综合考查往往是热点，其解