人教版数学高一必修一1.3-4函数的单调性与最值综合应用

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1、函数的单调性与最值函数f(x)在给定区间上为增函数。Oxy函数f(x)在给定区间上为减函数。Oxyf(x)在定义域内的某个区间D上为单调函数的数学定义：最大(小)值的理解最值条件几何意义最大值最小值①对于任意x∈I，都有________，②存在x0∈I，使得_________.函数y=f(x)图象上_____点的纵坐标.①对于任意x∈I，都有_______，②存在x0∈I，使得________.函数y=f(x)图象上_____点的纵坐标.f(x)≤M最高f(x0)=Mf(x)≥Mf(x0)=M最低求函数的最值的一般方法(1)图像法：对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数

2、等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值(2)单调性法：对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值利用单调性求最值【技法点拨】利用单调性求最值的三个常用结论1.如果函数f(x)在区间［a,b］上是增(减)函数，则f(x)在区间［a,b］的左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值.2.如果函数f(x)在区间(a,b］上是增函数，在区间［b,c)上是减函数，则函数f(x)在区间(a,c)上有最大值f(b).3.如果函数f(x)在区间(a,b］上是减函数，在区间［b,c)上是增函数，则函数f

3、(x)在区间(a,c)上有最小值f(b).求最大值、最小值时的三个关注点(1)利用图象写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而不是横坐标.(2)单调性法求最值勿忘求定义域.(3)单调性法求最值,尤其是闭区间上的最值，最忌不判断单调性而直接将两端点值代入求解时一定要注意.函数的单调性与最值综合应用二次函数问题反比例函数问题双勾函数（对勾函数）问题抽象不等式问题【典例规范解答】抽象函数中的单调性已知y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数，且f(1-a)1.①………………………

4、……………………………4分又f(x)在(1，+∞)上是增函数，且f(1+a)2.②………………………………………8分由①②可知，a>2.…………………………………………11分即所求a的取值范围是a>2.…………………………………12分【跟踪训练】已知y=f(x)在定义域(1，+∞)上是增函数，且f(1+a)f(1)，则a范围为。2、若f(x)在R上是减函数，且f(3a-1)>f(a+3)，则a范围为。3、若f(x)在[-2,1]是增函数，且f(a-1)－

5、f(2a+1)<0，则a范围为。提升:函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)，f(8)=3，解不等式f(x)－f(x－2)>3函数单调性在比较大小、解不等式中的应用注：利用函数的单调性解不等式时，必须考虑条件和定义域二次函数问题二次函数在闭区间上的最值二次函数在闭区间上的最值问题1：已知函数y=x2+2x-3且x∈求函数的最值。解：因为由图易知:对称轴X0=-1[0，2]f(x)在区间[0，2]上单调递增。所以：ymin=f(0)=-3ymax=f(2)=5答：函数的最小值为-3，最大值为520xy-11[0，2][-3，-2]-

6、20-1-3xy解：因为由图易知:对称轴X0=-1[-3，-2]f(x)在区间[-3，-2]上单调递减答：函数的最小值为-3，最大值为0所以：ymin=f(-2)=-3ymax=f(-3)=0[-2，2]问题2：已知函数y=x2+2x-3且x,求函数的最值。[-3，-2]解：因为由图易知：对称轴X0=-1[-2，2]又因：f(-2)=-3,f(2)=5答：函数的最小值为-4，最大值为5所以ymin=f(-1)=-4;所以：ymax=f(2)=5问题3:已知函数y=x2+x-3且x,求函数的最值。[-2，2]2总结：要求此类最值，需要考察函数在区间上的单调性，考察函数图象的

7、对称轴与区间的位置关系。问题1问题2问题31.的最大值_____,最小值_____.7-2例1.求函数f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最小值【规范解答】例2：求二次函数f(x)=x2-2x+2在［t,t+1］的最小值作业：1、设f(x)是定义域为[-1，1]上的增函数，解不等式f(x-1)-f(x2-1)<0.2、已知函数f(x)=x2-2x-3若x∈[-2，0]，求函数f(x)的最值。3、函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，满足：f(xy)=f(x)+f(y)(1)证明f()=f(x)－f(y)，(2)若f