高一数学必修一 函数的单调性与最值

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1、函数的单调性与最值高一数学组yx1-11-1yx1-11-1yx1-11-11.观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：①随x的增大，y的值有什么变化？②能否看出函数的最大、最小值？③函数图象是否具有某种对称性？2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：(1)f(x)=x①从左至右图象上升还是下降______?②在区间____________上，随着x的增大，f(x)的值随着________．(2)f(x)=①在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而________．②在区间____________上，f(x)的值随着x的增大而

2、________．函数单调性的定义1．增函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说f(x)在区间D上是增函数．思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．减函数如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量，当时，都有，那么就说f(x)在区间D上是减函数．注意：1.函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2.必须是对于区间D内的任意两个自变量.2．函数的单调区间的定义如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫

3、做y=f(x)的单调区间：例1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？解：函数的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5].其中在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数，在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。例2证明函数在区间上是减函数。3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且；②作差；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差的正负）；⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．请你归纳利

4、用定义判断函数的单调性的步骤。3．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且；②作差；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差的正负）；⑤判断（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．课堂练习课本第38页练习1、2、3、4题课堂小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→判断课后作业课本第39页习题1.3(A组)第1﹑2﹑3﹑4题例3.物理学中的玻意耳定律（k为正常数）告

5、诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强P将增大，试用函数的单调性证明之。分析：按题意，只要证明函数在区间(0,+∞)上是减函数即可。证明：根据单调性的定义，设是定义域(0,+∞)上的任意两个实数，且，则由，得；由，得；所以，函数是减函数，也就是说，当体积V减小时，压强P将增大。即：又k＞0，于是函数的最值思考：你能仿照函数最大值的定义，给出函数y=f(x)的最小值的定义吗？最大值的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，（2）存在那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）例3.“菊花”烟花是最壮观

6、得烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂。如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的的最佳时刻？这时距地面的高度是多少（精确到1m）？解：作出函数的图象，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m。由二次函数的知识，对于函数我们有：当时，函数有最大值例4.求函数在区间[2,6]上的最大值和最小值。课堂练习课本第38页练习1、5题课堂小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通

7、常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→判断课后作业课本第45页习题1.3(A组)第3﹑4﹑5题