[考研数学]北京航天航空大学线性代数8-1

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1、第一节线性变换的概念设V是数域K上的一个线性空间.V到自身的映射称为V的一个变换.线性变换是线性空间的一种基本变换.一映射与变换设M与M是两个集合，集合M到M的一个映射，是指一个法则,根据这个法则，对于M中每个元素，都有M中一个确定的元素与之对应，记为定义8.1称为在映射下的象，而称为的一个原象.例1M=(,+),N=[1,1],则是M到N的一个映射.例2M是全体实n阶方阵的集合,P是实数集,则是M到P的一个映射.这是Pn[x]到自身的一个映射.例3Rn是n维向量空间,则是到自身的映射.其中A为n阶满秩方阵.例4Pn[x]是次数小

2、于n次多项式的全体(包括零次多项式)组成的集合,则二线性变换的概念一元方程ax=b及非齐次方程组Ax=b的共同点:对函数f(x)=ax,可视为从实数集(M)到实数集(N)的映射.实质:在N中给定一个元素b,能否在M中找到一个元素(x),使f(x)=ax=b.f满足方程组Ax=b中,g(x)=Ax是Rn到Rn的映射,Ax确定了一个变换.方程组的实质:给定一个向量b,能否找到一个原象x(可能不止一个),使在变换g下映射为b.定义且满足设V是K上的一个线性空间,T为V内的一个变换(即V到自身的一个映射),若满足则称T是线性空间V中的一个线性变换.例1区间(a,b)内

3、全体任意次可微的实函数集合D0(a,b)关于普通函数的加法与实数的乘法构成一个实数域上的线性空间.在集合D0(a,b)上的变换是一个线性变换.例2在线性空间C[0,1]中的变换是线性变换.例3线性空间V中的任意元都与零元对应的变换称为零变换,即恒等变换都是线性变换.三线性变换的简单性质设T是线性空间V上的线性变换.1.T(0)=0,T()=,V.2.线性变换把线性组合变成同样的线性组合.即如果=k11+k22+…+krr,则T()=k1T(1)+k2T(2)+…+krT(r).3.若1,2,…,r线性相关,则T(1),T(

4、2),…,T(r)亦线性相关.性质3的逆命题不成立.(零变换)四线性变换的代数运算定义设T1,T2为线性空间V中的两个线性变换1.定义T1的T2和T1+T2为(T1+T2)()=T1()+T2()V2.定义数量k与T的数乘kT为(kT)()=kT()V,kK3.定义T1与T2的乘积T1T2为(T1T2)()=T1(T2())V定理1.1设T1,T2是V中两个线性变换,则T1+T2,kT1,T1T2都是线性变换.线性变换的乘法满足结合律,不满足结合律.定义如果对V中的线性变换T,存在V中线性变换S,使得TS=ST=I称S为T的逆变换

5、,此时称T是可逆线性变换.同矩阵相同,并不是任何线性变换都有逆变换.当变换T有逆变换时,逆变换是唯一的.记作T-1.定理1.2如果线性变换T可逆,则T-1也是线性变换.