双峰映射重正化群方程组的研究

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1、摘要本文研究了双峰映射的重正化群方程组。通过考察双峰映像任意多倍周期分岔累积点处极限函数图像的自相似性，将Feigenbaum重正化群方程推广为由两个方程构成的双峰映射重正化群方程组，分别对应着双峰映射的两个临界点。本文用重正化群方法解释了双峰映像中任意多倍周期分岔的度量普适性，并发展了一种新的有效数值解法，比传统的比较多项式系数方法计算量更小，收敛性更好。对重正化群方程组及其线性化方程进行的一系列数值计算验证了方程的正确性。关键词:双峰映射;分岔;度量普适性;重正化群方程;数值解Studyof

2、SystemsofRenormalizationGroupEquationsforBimodalMapsYan-yangZHANGABSTRACTInthispaper,thesystemsofrenormalizationgroupequationsforbimodalmapsarestudied.Byinvestigatingtheself-similaritiesofimagesoflimitfunctionsataccumulationpointsofarbitraryperiodp-t

3、uplingbifurcations,theFeigenbaum'srenormalizationgroupequation(RGE)isgeneralizedtoasystemoftwoRGEsforbimodalmaps,andeachofthemcorrespondstoacriticalpoint.Byusingthemethodofrenormalizationgroupanalysis,metricuniversalityforarbitraryperiodp-tuplingbifu

4、rcationsinbimodalmapsisexplained.Moreover,anefectivenumericalmethodisdevelopedforthesystemsofRGEs,whichconvergesmuchbeterandmorequicklyincomparisonwiththetraditionalmethodofcomparingcoefficientsofpolynomials.AseriesofnumericalresultsofRGEsandtheirlin

5、earizedequationsverifythecorrectnessoftheseRGEs.Keywords:bimodalm叩s;bifurcation;metricuniversality;renormalizationgroupequation;numericalso，lution第一章引言第一章引言一维离散动力系统的研究在非线性动力学理论中占有重要地位，它使人们认识到，原来认为很简单很熟悉的一维映射竟然会显示出复杂、丰富而又深刻的各种现象[1-31。我们考虑的一维映像是指某个实数区间

6、上的非线性自映像。在整个自映射区间(称之为相空间)内单调的映像函数是平庸的，它具有类线性的动力学性质。考虑具有多个单调支的映像函数。两个相邻的单调支以极值点为界。我们把极值点叫做临界点，它在函数图像上是一个“峰”(可以是峰，也可以是谷)。最简单的非线性映像就是只有一个峰和两个单调支的单峰映射[1-31。从自映射区间内某个点开始迭代，经过平庸的过渡过程，依参数的不同，就可能会出现不动点、周期和混沌等各种各样的轨道。在整个参数空间来看，这些轨道依据一定的规律在参数空间内发展变化，呈现出倍周期分岔、多

7、倍周期分岔等现象。而在这些变化中，可以发现一些渐近的自相似标度性质，包括相空间中的标度因子和参数空间中的收敛速率。这些性质是普适的，且依据一维映像在临界点的“临界指数”划分为不同的度量普适类。只要是同一个度量普适类中的映像，尽管函数形式可能有所不同，但是它们都具有相同的标度因子和收敛速率，故称之为度量普适常数。上面这些情形和统计物理中的临界现象(二级相变)非常相似[41:在相变点附近，物理系统也有很好的标度不变性质;依据相变点附近的物理性质，二级相变可以被划分为几个不同的普适类，普适类由该系统的

8、几何维数和参数空间维数来划分;同一个普适类中的相变模型，尽管表面上可以根本不同，但是它们具有相同的临界行为。美国物理学家Wilson引进重正化群方法很好地解决了二级相变的理论问题[41，描述和解释了它的普适现象。人们自然可以联想到，是否也可以用类似的方法来研究一维单峰映像的普适性质。这就是Feigenbaum的开创性工作。他在二十世纪七十年代末用重正化群方程完整地解释了单峰映像倍周期分岔的标度普适性质，从中得到了一系列普适常数，并划分了普适类[5-71普适性质还可以从另一个角度进行研究，这就是符