D812矢量及其线性运算

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1、数量关系—第八章第一部分矢量代数第二部分空间解析几何在三维空间中:空间形式—点,线,面基本方法—坐标法;矢量法坐标,方程（组）矢量代数与空间解析几何四、利用坐标作矢量的线性运算第一、二节一、矢量的概念二、矢量的线性运算三、空间直角坐标系五、矢量的模、方向角、投影机动目录上页下页返回结束矢量及空间直角坐标系第八章表示法:一、矢量的概念矢量:(又称向量).既有大小,又有方向的量称为矢量有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束若矢量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;规定:零矢量与任何矢量平行;若矢量a与b方向相同或相反,则称a与b平行,

2、a∥b;记作与a的模相同,但方向相反的矢量称为a的负矢量,记作－a;矢量的模:矢量的大小,零矢量:模为0的矢量,表示法:矢量的模:矢量的大小,一、矢量的概念（旧版）矢量:(又称向量).既有大小,又有方向的量称为矢量自由矢量:与起点无关的矢量.单位矢量:模为1的矢量,零矢量:模为0的矢量,有向线段M1M2,或a,机动目录上页下页返回结束若矢量a与b大小相等,方向相同,则称a与b相等,记作a＝b;二、矢量的线性运算1.矢量的加法三角形法则:平行四边形法则:机动目录上页下页返回结束2.矢量的减法三角不等式二、矢量的线性运算（旧版）1.矢量的加法三角形法则:平行四边

3、形法则:运算规律:交换律结合律三角形法则可推广到多个矢量相加.机动目录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束3.矢量与数的乘法是一个数,规定:与a的乘积是一个新矢量,记作总之:机动目录上页下页返回结束例1.设M为解:ABCD对角线的交点,定理1.设a为非零矢量,则(为唯一实数)证:“”.,取＝±且再证数的唯一性.则a∥b设a∥b取正号,反向时取负号,,a,b同向时则b与a同向,设又有b＝a,机动目录上页下页返回结束“”依定义显然成立。向量的单位化：ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空间直角坐标系由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个空间直角坐标系.坐标原点坐

4、标轴x轴(横轴)y轴(纵轴)z轴(竖轴)过空间一定点O,坐标面卦限(八个)zox面1.空间直角坐标系的基本概念机动目录上页下页返回结束Ⅰ向径在直角坐标系下坐标轴上的点P,Q,R;坐标面上的点A,B,C点M特殊点的坐标:有序数组(称为点M的坐标)原点O(0,0,0);机动目录上页下页返回结束向径(矢径):起点为原点的矢量.坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束2.矢量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点M则沿三个坐标轴方向的分矢量.的坐标为此式称为矢量r的坐标分解式,任意矢量r可用向径OM表示.机动目录上页下页返回结束四、利用坐标作矢量的线性运算设则平行矢量对

5、应坐标成比例:机动目录上页下页返回结束已知两点机动目录上页下页返回结束的坐标表达为：BA以任意两点为起终的向量如何用坐标表达呢？作出A,B两点对应的矢径，则例2.一向量的终点在点B(2,-1,7)，解:设A(x,y,z),它的矢量坐标表达为求起点坐标。例3.已知两点在AB直线上求一点M,使解:设M的坐标为如图所示及实数得即机动目录上页下页返回结束说明:由得定比分点公式:点M为AB的中点,于是得中点公式:机动目录上页下页返回结束五、矢量的模、方向角、方向余弦1.矢量的模与两点间的距离公式则有由勾股定理得因得两点间的距离公式:对两点与机动目录上页下页返回结束例4

6、.求证以证:即为等腰三角形.的三角形是等腰三角形.为顶点机动目录上页下页返回结束例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及思考:(1)如何求在xoy面上与A,B等距离之点的轨迹方程?(2)如何求在空间与A,B等距离之点的轨迹方程?离的点.机动目录上页下页返回结束例5.在z轴上求与两点等距解:设该点为解得故所求点为及离的点.机动目录上页下页返回结束例6.已知两点和解:求提示:(1)设动点为利用得(2)设动点为利用得且例6.已知两点和解:求机动目录上页下页返回结束2.方向角与方向余弦设有两非零矢量任取空间一点O,称=∠AOB(0≤≤)为矢量的夹

7、角.类似可定义矢量与轴,轴与轴的夹角.与三坐标轴的夹角,,为其方向角.方向角的余弦称为其方向余弦.记作机动目录上页下页返回结束方向余弦的性质:机动目录上页下页返回结束例7.已知两点和的模、方向余弦和方向角.解:计算矢量机动目录上页下页返回结束例8.设点A位于第一卦限,解:已知角依次为求点A的坐标.则因点A在第一卦限,故于是故点A的坐标为向径OA与x轴y轴的夹第二节目录上页下页返回结束参考题解:因1.设求矢量在x轴上的投影及在y轴上的分矢量.在y轴上的分矢量为故在x轴上的投影为机动目录上页下页返回结束2.设求以矢量行四边形的对角线的长度.该平行四边形的对

8、角线的长度各为对角线的长为解：为边的平机动目录上页下