1. 矢量及其运算

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1、第一章矢量分析1第一节矢量及其运算2一、矢量的概念1矢量的相关定义矢量:既有大小,又有方向的量称为矢量(又称向量).M2表示法:有向线段M1M2,或a,a.M1矢量的模:矢量的大小,记作M1M2,或a,或a.矢量a与b相等:若矢量a与b大小相等,方向相同,记作a＝b;矢量a的负矢量:与矢量a的模相同,但方向相反的矢量记作－a;3机动目录上页下页返回结束2一些特殊的矢量矢径(向径):起点为原点的矢量.自由矢量:与起点无关的矢量.单位矢量:模为1的矢量,计作a或a或e.零矢量:模为0的矢量,记作0，或0.4机动目录上页下页返回结束3矢量间几何关系(1)矢

2、量平行与共线矢量a与b平行:若矢量a与b方向相同或相反,记作a∥b;规定:零矢量与任何矢量平行;因平行矢量可平移到同一直线上,故两矢量平行又称两矢量共线.(2)矢量共面若k(≥3)个矢量经平移可移到同一平面上,则称此k个矢量共面.5机动目录上页下页返回结束二、矢量的线性运算1.矢量的加法c平行四边形法则:(ab)cbcbaba(bc)aabb三角形法则:abbaa运算规律:交换律abba结合律(ab)ca(bc)abc三角形法则可推广到多个矢量相加.6机动目录上页下页返回结束sa1a2a3a4a5a4a5a3sa

3、2a17机动目录上页下页返回结束2.矢量的减法abab(a)bbaba特别当ba时,有aaa(a)0a三角不等式abababab8机动目录上页下页返回结束3.矢量与数的乘法是一个数,与a的乘积是一个新矢量,记作a.0时，a与a同向，aa;规定:0时,a与a反向，aa;0时,a0.可见总之:aa1aa;结合律(a)(a)a1aa;运算律:()aaa分配律(ab)ab01

4、若a0,则有单位矢量aa.因此aaaa9机动目录上页下页返回结束定理1.设a为非零矢量,则a∥bba(为唯一实数)证:“”.设a∥b,取＝±ba,a,b同向时取正号,反向时取负号,则b与a同向,且baaaba故ba.再证数的唯一性.设又有b＝a,则()a0而a0,故0,即.10机动目录上页下页返回结束“”已知b＝a,则当0时,b＝0当0时,a,b同向a∥b当0时,a,b反向例1.设M为ABCD对角线的交点,ABa,ADb,试用a与b表示MA,MB,MC,MD.解:abAC

5、2MC2MADCbaBD2MD2MBbMMA1(ab)MB1(ba)AaB22MC1(ab)MD1(ba)2211机动目录上页下页返回结束注:(1)以空间所有有向线段为一集合,(2)引入加法和数乘运算且满足一些规律这样有向线段集合对于加法和数乘形成一个线性空间可以证明不共面三个有向线段线性无关，且任何有向线段都能被给定不共面三个有向线段线性表示。有向线段形成的线性空间是三维的；即：且任何三个不共面有向线段是线性空间一组基12三、空间直角坐标系1.空间直角坐标系的基本概念过空间一定点o,由三条互相垂直的数轴按右手规则组成一个

6、空间直角坐标系.zz轴(竖轴)•坐标原点ⅢⅡ•坐标轴Ⅳyoz面•坐标面面Ⅰzoxyoxoy面•卦限(八个)y轴(纵轴)Ⅶxx轴(横轴)ⅥⅤⅧ13机动目录上页下页返回结束在直角坐标系下z(0,0,z)zRB(0,y,z)(x,y,z)(x,o,z)CMyoyxQ(0,y,0)xP(x,0,0)A(x,y,0)11在直角坐标系下:点M有序数组(x,y,z)称为点M的坐标特殊点的坐标:原点O(0,0,0);坐标轴上的点P,Q,R;14坐标面上的点A,B,C机动目录上页下页返回结束z坐标轴:y0x轴oyz0z0xy轴x0坐标面:x0z轴xo

7、y面z0y0yoz面x0zox面y015机动目录上页下页返回结束2.矢量的坐标表示在空间直角坐标系下,任意矢量r可用矢径OM表示.以i,j,k分别表示x,y,z轴的单位矢量设点M的坐标为M(x,y,z),则zC(x,y,z)OMONNMOAOBOCMrOAxi,OByj,OCzkkjBOiyrxiyjzk(x,y,z)AxN此式称为矢量r的坐标分解式,并称(x,y,z)为矢量的坐标xi,yj,zk叫做矢量r沿三个坐标轴方向的分矢量.矢径的坐标等于其终点的坐标16机动目录上页下页返回结束3

8、.矢量的坐标与矢量终、始点坐标的关系z