数学物理方程第三版(谷超豪)答案

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1、数学物理方程答案数学物理方程第二版答案第一章.波动方程§1方程的导出。定解条件1.细杆(或弹簧)受某种外界原因而产生纵向振动,以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移,假设振动过程发生的张力服从虎克定律,试证明u(x,t)满足方程uuxEttxx其中为杆的密度,E为杨氏模量。证:在杆上任取一段,其中两端于静止时的坐标分别为x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为:xu(x,t);xxu(xx,t)[xxu(

2、xx,t)][xu(x,t)]x其相对伸长等于u(xx,t)xx令x0,取极限得在点x的相对伸长为u(x,t)。由虎克定律,张力T(x,t)等于xT(x,t)E(x)ux(x,t)其中E(x)是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,xx)两端的力分别为E(x)S(x)u(x,t);E(xx)S(xx)u(xx,t).xx于是得运动方程(x)s(x)xutt(x,t)ESu(xx)

3、xxESux(x)

4、xx利用微分中值定理,消去x,再令x0

5、得(x)s(x)utt(ESux)x若s(x)常量,则得2uu(x)=(E(x))2txx即得所证。2.在杆纵向振动时,假设(1)端点固定,(2)端点自由,(3)端点固定在弹性支承上,试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。数学物理方程答案解:(1)杆的两端被固定在x0,xl两点则相应的边界条件为u(0,t)0,u(l,t)0.u(2)若xl为自由端,则杆在xl的张力T(l,t)E(x)

6、等于零,因此相应xlxu的边界条件为

7、=0xlxu同理,若x0为自由端,则相应的边界条件为∣

8、0x0x(3)若xl端固定在弹性支承上,而弹性支承固定于某点,且该点离开原来位置的偏移由函数v(t)给出,则在xl端支承的伸长为u(l,t)v(t)。由虎克定律有uE∣k[u(l,t)v(t)]xlx其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件uk(u)∣f(t)其中xlxE特别地,若支承固定于一定点上,则v(t)0,得边界条件u(u)∣0。xlx同理,若x0端固定在弹性支承上,则得边界条件uE∣k[u(0,t)v(t)]x0xu即(u)∣f(t).x0x2x

9、2ux2u3.试证:圆锥形枢轴的纵振动方程为E[(1)](1)2xhxht其中h为圆锥的高(如图1)证:如图,不妨设枢轴底面的半径为1,则x点处截面的半径l为:xl1hx2所以截面积s(x)(1)。利用第1题,得h2x2ux2u(x)(1)[E(1)]2htxhx若E(x)E为常量,则得2x2ux2uE[(1)](1)2xhxht数学物理方程答案4.绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定,在它本身重力作用下,此线处于铅垂平衡位置,试导出此线的微小横振动方程。解:如

10、图2,设弦长为l,弦的线密度为,则x点处的张力T(x)为T(x)g(lx)且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移,取弦段(x,xx),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为g(lx)sin(x);g(l(xx))sin(xx)其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角u又sintgx.于是得运动方程2uuux[l(xx)]∣g[lx]∣g2xxxtxx利用微分中值定理,消去x,再令x0得

11、2uug[(lx)]。2txx12225.验证u(x,y,t)在锥txy>0中都满足波动方程222txy222uuu1222证:函数u(x,y,t)在锥txy>0内对变量t2x2y2222txyx,y,t有3u222二阶连续偏导数。且(txy)2tt352u(t2x2y2)23(t2x2y2)2t2t23t2x2y22t2x2y2()(2)3u222(txy)2xx数学物理方程答案235u2222222t

12、xy23txy2xx25222222txy2t2xy25u222222同理txy2tx2yy22252uu222222u所以txy22txy.

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