数学物理方程第三版(谷超豪)答案.pdf

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1、数学物理方程答案数学物理方程第二版答案第一章．波动方程§1方程的导出。定解条件1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x点处的点在时刻t离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明u(x,t)满足方程uuxEttxx其中为杆的密度，E为杨氏模量。证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为x与xx。现在计算这段杆在时刻t的相对伸长。在时刻t这段杆两端的坐标分别为：xu(x,t);xxu(xx,t

2、)[xxu(xx,t)][xu(x,t)]x其相对伸长等于u(xx,t)xx令x0，取极限得在点x的相对伸长为u(x,t)。由虎克定律，张力T(x,t)等于xT(x,t)E(x)ux(x,t)其中E(x)是在点x的杨氏模量。设杆的横截面面积为S(x),则作用在杆段(x,xx)两端的力分别为E(x)S(x)u(x,t);E(xx)S(xx)u(xx,t).xx于是得运动方程(x)s(x)xutt(x,t)ESu(xx)

3、xxESux(x)

4、xx利用

5、微分中值定理，消去x，再令x0得(x)s(x)utt(ESux)x若s(x)常量，则得2uu(x)=(E(x))2txx即得所证。2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。数学物理方程答案解：(1)杆的两端被固定在x0,xl两点则相应的边界条件为u(0,t)0,u(l,t)0.u(2)若xl为自由端，则杆在xl的张力T(l,t)E(x)

6、等于零，因此相应xlxu的边界条件为

7、=0x

8、lxu同理，若x0为自由端，则相应的边界条件为∣0x0x(3)若xl端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数v(t)给出，则在xl端支承的伸长为u(l,t)v(t)。由虎克定律有uE∣k[u(l,t)v(t)]xlx其中k为支承的刚度系数。由此得边界条件uk(u)∣f(t)其中xlxE特别地，若支承固定于一定点上，则v(t)0,得边界条件u(u)∣0。xlx同理，若x0端固定在弹性支承上，则得边界条件uE∣k[u(0,

9、t)v(t)]x0xu即(u)∣f(t).x0x2x2ux2u3.试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为E[(1)](1)2xhxht其中h为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x点处截面的半径l为：xl1hx2所以截面积s(x)(1)。利用第1题，得h2x2ux2u(x)(1)[E(1)]2htxhx若E(x)E为常量，则得2x2ux2uE[(1)](1)2xhxht数学物理方程答案4.绝对柔软逐条而均匀的弦

10、线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图2，设弦长为l，弦的线密度为，则x点处的张力T(x)为T(x)g(lx)且T(x)的方向总是沿着弦在x点处的切线方向。仍以u(x,t)表示弦上各点在时刻t沿垂直于x轴方向的位移，取弦段(x,xx),则弦段两端张力在u轴方向的投影分别为g(lx)sin(x);g(l(xx))sin(xx)其中(x)表示T(x)方向与x轴的夹角u又sintgx.于是得运动方程2uuux[

11、l(xx)]∣g[lx]∣g2xxxtxx利用微分中值定理，消去x，再令x0得2uug[(lx)]。2txx12225.验证u(x,y,t)在锥txy>0中都满足波动方程222txy222uuu1222证：函数u(x,y,t)在锥txy>0内对变量t2x2y2222txyx,y,t有3u222二阶连续偏导数。且(txy)2tt352u(t2x2y2)23(t2x2y2)2t2t23t2x2

12、y22t2x2y2()(2)3u222(txy)2xx数学物理方程答案235u2222222txy23txy2xx25222222txy2t2xy25u222222同理txy2tx2yy22252uu222222u所以txy22txy.