数学物理方程_谷超豪_第三章答案.pdf

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1、第三章调和方程'A1若n2，则f(r)故f(r)c1A1Inrr§1建立方程定解条件1即n2，则f(r)c1c2In22r1．设u(x1,x2,,xn)f(r)(rx1xn)是n维调和函数（即满足方程2．证明拉普拉斯算子在球面坐标(r,,)下，可以写成2u2u0），试证明2x2x212u1u1u1nu(r)(sin)r2rrr2sinr2sin22c2f(r)c1(n2)0n2r证：球坐标(r,,)与直角坐标(x,y,z)的关系：1f(r)c1c2In(n2)rxrsin

2、cos，yrsinsin，zrcos（1）其中c,c为常数。12222uuuuu'r'xix2y2z2证：uf(r),f(r)f(r)xixir为作变量的置换，首先令rsin，则变换（1）可分作两步进行222u"xi'1'xif(r)f(r)f(r)x2r2rr3xcos，ysin（2）inn22rsin，zrcos（3）n2xixiu"i1'n'i1"n1'f(r)f(r)f(r)f(r)f(r)由（2）x2r2rr3ri1iuuu"n1'c

3、ossin即方程u0化为f(r)f(r)0xyruuu"(sin)(cos)f(r)n1xyf'(r)r由此解出所以f'(r)Ar(n1)uuusin1cosx（4）A1n2uuucos若n2，积分得f(r)rc1sinn2y再微分一次，并利用以上关系，得c2即n2，则f(r)c1n2r3922u2u2u12u1uuuusin(cos)x2x2z2r2r2

4、2rruusin再利用（4）式，得cos(cos)uuucossinsinuusinrr(cos)所以22222u2sincosusinu2u2u2u2u12u1ucos222x2y2z2r2r22rr212u1uucos2sincosusinu(sin)2r2sin22rsinrr2uuucos2u12u12u2u1u

5、(sin)ctgy2yr2r22r2sin22rrr2uucos即sin(sin)12u1u12uu(r)(sin)0cosuucosr2rrr2sinr2sin22(sin)3．证明拉普拉斯算子在柱坐标(r,,z)下可以写成2u2sincos2ucos22u2sin22222u1(ru)1uurrrr22z22sincosucos2

6、u2证：柱坐标(r,,z)与直角坐标(x,y,z)的关系所以xrcos，yrsin，zz2u2u2u12u1u（5）利用上题结果知x2y22222u2u2u12u1u22222222222uuuuu1u1uxyrrrrx2y2z22z22221u1u22(r)uurrrr22再用（3）式，变换。这又可以直接利用（5）式，得2z2221u1uu所以u(r)rrrr22z2

7、404.证明下列函数都是调和函数故shnysinnx为调和函数（1）axbyc(a,b,c为常数)同理，其余三个函数也是调和的证：令uaxbyc,显然（5）shx(chxcosy)1和siny(chxcosy)12u2u1证：令ushx(chxcosy)0,0.22xyu122chx(chxcosy)shx(chxcosy)故u0，所以u为调和函数x222(2)xy和2xy(chxcosy)(