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《数学物理方程_谷超豪_第三章答案.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第三章调和方程§1建立方程定解条件1．设u(x,x,,x)=f(r)(r=x2++x2)是n维调和函数（即满足方程12n1n¶2u++¶2u=0），试证明¶x2¶x21nf(r)=c1+c2(n¹2)rn-2f(r)=c+cIn1(n=2)12r其中c1,c2为常数。证：u=f(r),¶u=f'(r)׶r=f'(r)×xi¶xi¶xir¶2u=f"(r)×xi2+f'(r)×1-f'(r)×xi2¶xi2r2r3rnnn¶2uåxi2nåxi2n-1"i=1''i=1"'å=f(r)×+f(r)×-f(r)×=f(r)+f(r)¶x2r2
2、rr3r若n=2，则f'(r)=A1故f(r)=c+AInrr11即n=2，则f(r)=c+cIn112r2．证明拉普拉斯算子在球面坐标(r,q,j)下，可以写成Du=1׶(r2¶u)+1׶(sinq¶u)+1׶2ur2¶rr2sinq¶q¶qr2sin2q¶j2¶r=0证：球坐标(r,q,j)与直角坐标(x,y,z)的关系：x=rsinqcosj，y=rsinqsinj，z=rcosq（1）Du=¶2u+¶2u+¶2u¶x2¶y2¶z2为作变量的置换，首先令r=rsinq，则变换（1）可分作两步进行x=rcosj，y=rsinj（
3、2）r=rsinq，z=rcosq（3）由（2）i=1i即方程Du=0化为f"(r)+n-1f'(r)=0rf"(r)=-n-1f'(r)r¶u=¶ucosj+¶u¶r¶x¶ysinjüïï¶uý+(rcosj)ï¶yïþ所以f'(r)=Ar-(n-1)1若n¹2，积分得f(r)=A1r-n+2+c-n+21即n¹2，则f(r)=c1+c2rn-2由此解出¶u=¶ucosj-¶u×sinjü¶x¶r¶jrïï（4）¶u¶u¶ucosjý=sinj+×ï¶y¶r¶jrïþ再微分一次，并利用以上关系，得39¶2u=¶(¶ucosj-¶u×
4、sinj)¶x2¶x¶r¶jr=cosj¶¶r(¶¶rucosj-¶¶ju×sinrj)-sinrj׶¶j(¶¶rucosj-¶¶ju×sinrj)2¶2u2sijncojs¶2usi2nj¶2u=cosj-×+×+¶r2r¶r¶jr2¶j2+2sijncojs׶u+si2nj׶ur2¶jr¶r¶2u=¶(¶usijn+¶u×cojs)¶y2¶y¶r¶jr=sinj¶¶r(¶¶rusinj+¶¶ju×cosrj)++cosrj¶¶j(¶¶rusinj+¶¶ju×cosrj)=sin2¶2u+2sinjcosj¶2u+cos2j׶2u
5、-¶r2r¶r¶jr2¶j2-2sinjcosj׶u+cos2j׶ur2¶jr¶r所以¶2u+¶2u=¶2u+1׶2u+1׶u（5）¶x2¶y2¶r2r2¶j2r¶r¶2u+¶2u+¶2u=¶2u+¶2u+1׶2u+1׶u¶x2¶y2¶z2¶r2¶z2r2¶j2r¶r¶2u+¶2u再用（3）式，变换。这又可以直接利用（5）式，得¶r2¶z2¶2u+¶2u=¶2u+1׶2u+1׶u¶r2¶z2¶r2r2¶q2r¶r再利用（4）式，得¶¶ru=¶¶ursinq+¶¶qu×cosrq所以¶2u+¶2u+¶2u=¶2u+1׶2u
6、+1׶u+¶x2¶y2¶z2¶r2r2¶q2r¶r+1׶2u+1(¶usinq+¶u×cosq)r2sin2q¶j2rsinq¶r¶qr=¶2u+1׶2u+1׶2u+2׶u+1ctgq¶u¶r2r2¶q2r2sin2q¶j2r¶rr2¶q即Du=1׶(r2¶u)+1׶(sinq¶u)+1׶2u=0¶r¶r¶q¶q2sin¶j2r2r2sinqr2q3．证明拉普拉斯算子在柱坐标(r,q,z)下可以写成Du=1׶(r¶u)+1׶2u+¶2ur¶r¶rr2¶q2¶z2证：柱坐标(r,q,z)与直角坐标(x,y,z)的关系x=r
7、cosq，y=rsinq，z=z利用上题结果知¶2u+¶2u=¶2u+1¶2u+1¶u¶x2¶y2¶r2r2¶q2r¶r=1¶(r¶u)+1¶2ur¶r¶rr2¶q2所以Du=1¶(r¶u)+1¶2u+¶2ur¶r¶rr2¶q2¶z2404.证明下列函数都是调和函数（1）ax+by+c(a,b,c为常数)证：令u=ax+by+c,显然¶2u=0,¶2u=0.¶x2¶y2故Du=0，所以u为调和函数(2)x2-y2和2xy¶2u=2,¶2u=2,。所以Du=0。u为调和函数¶x2¶y2令v=2xy则¶2v=0,¶2v=0。所以Dv=0。v为调
8、和函数¶x2¶y2(3)x3-3xy2和3x2y-y3证：令u=x3-3xy2¶2u=6x,¶2u=-6x,所以Du=0,u为调和函数。¶x2¶y2令v=3x2y-y3¶2v=6
