2017年全国高中数学联合竞赛竞赛加试(A卷)答案

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1、2017年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、（本题满分40分）如图，在ABC中，AB=AC，I为ABC的内心．以A为圆心，AB为半径作圆Γ，以I为圆心，IB为半径作圆Γ，过点B、I的圆12Γ与Γ、Γ分别交于点P、Q（不同于点B）．设IP与BQ交于点R．312证明：BR⊥CR．（答题时请将图画在答卷纸上）AIBCPQR证明：连接IB，IC，IQ，PB，PC．

2、由于点Q在圆Γ上，故IB=IQ，所以∠=IBQ∠IQB．2又B，I，P，Q四点共圆，所以∠=IQB∠IPB，于是∠=IBQ∠IPB，故IBP∽IRB，从而有∠=IRB∠IBP，且IBIP=．…………………10分IRIB注意到AB=AC，且I为ABC的内心，故IB=IC，所以ICIP=，IRIC于是ICP∽IRC，故∠=IRC∠ICP．…………………20分1又点P在圆Γ的弧BC上，故∠BPC=180−∠A，因此12∠BRC=∠IRB+∠IRC=∠IBP+∠ICP=360−∠BIC−∠BPC11=360−90+∠−AA180−∠22=

3、90，故BR⊥CR．…………………40分二、（本题满分40分）设数列{}a定义为a1，n1an+≤,,若annnan==1,2,．n+1an−>,,若annn2017求满足ar3的正整数r的个数．r解：由数列的定义可知aa=1,=2．假设对某个整数r≥2有ar=，我们证明12r对tr=1,,−1，有a=+−>+−2rtrt121,artrt=−<+2．①rt+−21rt+2对t归纳证明．当t=1时，由于arr=≥，由定义，aarrrrr=+=+=>+21，rrr+1aar=−+=−+=−<+(1)2rr(1)r1r2，结论成立．rr++21设对某个11≤<−t

4、r，①成立，则由定义a=a++=−++=+>++(rtrtrtrtrt2)2221，rt++21rt+2a=a−++=+−++=−−<++(rt21)2rtrt(21)rtrt122，rt++22rt++21即结论对t+1也成立．由数学归纳法知，①对所有tr=1,2,,−1成立，特别当tr=−1时，有a=1，从而aar=+−=−(32)3r1．32r−31rr−−32若将所有满足ar=的正整数r从小到大记为rr,,，则由上面的结论可知r12rr=1,=2，rr=31−，k=2,3,．…………………20分12kk+1由此可知，，从而．20172018312017312

5、017由于rr3，在1,2,,3中满足ar=的数r20182019r22共有2018个，为rr,,,r．…………………30分122018由①可知，对每个k1,2,,2017，中恰有一半满足20173120172017ar．由于r11与3均为奇数，而在r1,,3中，奇数r2018201822017均满足ar>，偶数均满足ar，其中的偶数比奇数少1个．因此满足ar3rrr的正整数r的个数为20171201732019320181．…………………40分22三、（本题满分50分）将3333×方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色

6、的小方格的个数相等．若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”．试求分隔边条数的最小值．解：记分隔边的条数为L．首先，将方格纸按如图分成三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即L=56．…………10分1617111117161133下面证明L≥56．将方格纸的行从上至下依次记为AA,,,A，列从左至右1233依次记为BB,,,B．行A中方格出现的颜色数记为nA()，列B中方格出现的颜1233iii色个数记为nB()．三种颜色分别记为ccc,,．对于一种颜色c，设nc()是含有ci123jjj色方格的行数与列数之和．记1,若Ac

7、行含有色方格，ijδ(,)Ac=ij0,否则，类似地定义δ(,)Bc．于是ij33333∑(()nAi+=nB())i∑∑((,δδAcij)+(,Bcij))i=1ij=11=3333=∑∑((,)(,))δδAcij+=Bcij∑nc()j．ji=11=j=112由于染c色的方格有⋅=33363个，设含有c色方格的行有a个，列有b个，jj3则c色的方格一定在这a行和b列的交叉方格中，因此ab≥363，从而jnc()=+≥ab2ab≥2363>38，j故nc()39,≥=j1,2,3．①j…………