2014世纪金榜第十二章 第一节

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1、第十二章计数原理与概率第一节两个基本计数原理、排列与组合及其应用1.两个计数原理分类计数原理分步计数原理条件完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有mn种不同的方法完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有mn种不同的方法分类计数原理分步计数原理结论完成这件事情共有N=____________种不同方法完成这件事情共有N=______________种不同的方法依据能否独立完成整

2、个事件能否逐步完成整个事件m1+m2+…+mnm1×m2×…×mn2.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合并成一组3.排列数与组合数的概念名称定义排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素的所有不同排列的个数组合数组合的个数4．排列数与组合数公式(1)排列数公式=_____________________=_________;(2)组合数公式=_______________________=__________.n(n-1)(n-2)…(n-

3、m+1)5．排列数及组合数的性质(1)排列数的性质.①②0！=__.(2)组合数的性质.①②③n!11判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(2)在分步计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有各个步骤都完成后，这件事情才算完成.()(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(4)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.()(5)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(6)排列定义规

4、定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.()【解析】(1)正确.在分类计数原理中，每类方案中的每一种方法都能完成这件事，否则就是分步了.(2)正确.在分步计数原理中，如果事情是分两步完成的，则它的任何一个单独的步骤都不能完成这件事，否则就是分类了.(3)错误.当两个排列的所有元素完全相同，但其排列顺序不同时，仍然不是相同排列，所以错误.(4)错误.因为相同的组合与元素的顺序无关，只与元素是否相同有关，所以该说法错误.(5)正确.

5、当两个组合的元素完全相同时，能得出这两个组合是相同组合；当两个组合相同时，能得出它们的元素完全相同.(6)正确.由定义易知，取出的元素各不相同，因此取了的不能再取了.答案：(1)√(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√考向1两个计数原理【典例1】用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻(有公共边)的区域不同色，求共有多少种不同的涂色方法？【思路点拨】本题是解决涂色问题，要明确涂色要求，严格区分是“分类”还是“分步”．【规范解答】完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可

6、选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×(1×4+3×3)=260(种)涂色方法.【互动探究】若本例中的图形改为右图，用4种不同的颜色给图中A，B，C，D4个区域涂色，并且4种颜色可以重复使用(颜色不一定全用)，其他要求不变，求不同的涂色方法种数.【解析】若A与C不同色，则涂色种数有4×3×2×2=48种；若A与C同色，则涂色种数有4×3×1×3=36种.故不同

7、的涂色方法有：48＋36＝84种.【拓展提升】1.两个计数原理的区别分类计数原理分步计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事.它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏原理区别2．应用两个计数原理的“两个”注意点(1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．在分步时可能用到分类

8、计数原理.(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化.【变式训练】某小组有10人，每人至少会英语和法语中的一门，其中8人会英语，5人会法语，(1)从中任选一个会外语的人，有多少种选法？(2)从中选出会英语与会法语的各1人，有多少种不同的选法？【解析】由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会法语，5人只会英语，2人只会法语．(1)可分类完成此事：