世纪金榜第十五章第一节

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1、第十五章坐标系与参数方程第一节坐标系与曲线的极坐标方程1.极坐标系一般地，在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，其中，点O称为_____，射线Ox称为_____．设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角.那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的______，θ称为点M的_____．有序数对(ρ，θ)称为点M的________．极点极轴极径极角极

2、坐标2.极坐标与直角坐标的互化当极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，两种坐标系中取相同的长度单位时，平面内任意一点P的直角坐标与极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则有互化公式和通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ＜2π.3.简单图形的极坐标方程(1)直线的极坐标方程：①经过点M(ρ0，θ0)，且与极轴成α角的直线的极坐标方程为：___________________________;②特别地，过极点且与极轴成α角的直线的极坐标方程为：______；③与极轴垂直且

3、经过点(a,0)(其中a＞0)的直线的极坐标方程为：____________；ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0-α)θ=αρcosθ＝a④与极轴平行且在极轴上方，与极轴距离为b的直线的极坐标方程为：____________；⑤与极点距离为p，且与过极点与极轴成α角的直线OH垂直的直线的极坐标方程为：________________.ρsinθ＝bρcos(θ-α)＝p(2)圆的极坐标方程：①圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为：__________________________________

4、;②特别地，以极点为圆心，半径为r的圆的极坐标方程为：______；③圆心在极轴上且过极点，半径为r的圆的极坐标方程为：____________；④圆心在过极点与极轴成角的射线上，且过极点，半径为r的圆的极坐标方程为：_____________；ρ2－2ρ0ρcos(θ-θ0)＋ρ02－r2＝0ρ＝rρ＝2rcosθρ＝2rsinθ⑤圆心在(ρ0，θ0)，经过极点的圆的极坐标方程为：____________________．(3)圆锥曲线的极坐标方程:设定点F到定直线l的距离为p，e为离心率，则圆锥曲线的极坐标方

5、程是当0＜e＜1时，方程表示_____；当e＝1时，方程表示_______；当e＞1时，方程表示_______，其中，ρ∈R.ρ＝2ρ0cos(θ-θ0)抛物线双曲线椭圆判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)在极坐标系中，点的坐标表示不惟一.()(2)极坐标方程与直角坐标方程y=x不表示同一曲线.()(3)极坐标方程ρ=2cosθ与ρcosθ=2相同.()(4)圆的圆心的一个极坐标是()(5)设点A的极坐标为直线l过点A且与极轴所成的角为则直线l的极坐标方程既能表示为又能表示为能表示()【解析

6、】(1)正确.如直角坐标系中的点若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标为(k∈Z)．(2)错误.根据直线的极坐标方程规定，当直线l过极点，即ρ0=0时，直线l的极坐标方程即为θ=α，故与直角坐标方程y=x都表示同一直线.(3)错误.极坐标方程ρ=2cosθ表示的曲线是圆，而ρcosθ=2表示直线.(4)正确.因原方程可化为故其圆心的极坐标可表示为(5)正确.由条件可知：直线l的极坐标方程为ρsinθ-2＝0，可整理得或答案：(1)√(2)×(3)×(4)√(5)√考向1极坐标的有关概念【典

7、例1】(2012新课标全国卷改编)已知曲线L的极坐标方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在L上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为求其余各点B，C，D的极坐标.【思路点拨】因正方形与圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故通过旋转来直接写出B，C，D三点坐标.【规范解答】因曲线L的方程是ρ=2，表示以极点为圆心，以2为半径的圆，故正方形的中心也是极点，将点A逆时针旋转即可得【互动探究】本题中的点B，C，D的极坐标还可表示成其他形式吗？【解析】可以.若按顺时针次序考虑，则分别旋转后，得若按中心对称考虑，

8、则求得点后，即可得【拓展提升】极坐标系与点的极坐标(1)极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．(2)如果(ρ，θ)是点M的极坐标，那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作为点M的极坐标．但这样建立的极坐标系，平面上的点与它的极坐标之间就不是一一对应关系．由极径的意义可知ρ≥0.当极角θ的取值范围是［0,2π)时，