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1、分类号:O241单位代码:10183研究生学号:2015312031密级:公开吉林大学硕士学位论文Helmholtz方程边值问题的一种数值解法ANumericalMethodforSolvingtheBoundaryValueProblemoftheHelmholtzEquation作者姓名:马岩专业:计算数学研究方向:数学物理反问题的数值解法指导导师:张德悦教授培养单位:数学研究所二零一八年四月―――――――――――――――――Helmholtz方程边值问题的一种数值解法―――――――――――――――――ANumeric
2、alMethodforSolvingtheBoundaryValueProblemoftheHelmholtzEquation作者姓名:马岩专业名称:计算数学指导教师:张德悦学位类别:理学硕士答辩日期:年月日未经本论文作者的书面授权，依法收存和保管本论文书面版本、电子版本的任何单位和个人，均不得对本论文的全部或部分内容进行任何形式的复制、修改、发行、出租、改编等有碍作者著作权的商业性使用（但纯学术性使用不在此限）。否则，应承担侵权的法律责任。吉林大学硕士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文，是本人在指导教师
3、的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名:日期:年月日《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》投稿声明研究生院:本人同意《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》出版章程的内容,愿意将本人的学位论文委托研究生院向中国学术期刊（光盘版）电子杂志社的《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》投稿,希望《中国优秀博硕士学位论文全文数据库》给
4、予出版,并同意在《中国博硕士学位论文评价数据库》和CNKI系列数据库中使用,同意按章程规定享受相关权益.论文级别:硕士博士学科专业:计算数学论文题目:作者签名:指导教师签名:年月日作者联系地址（邮编）:吉林大学数学研究所(130012)作者联系电话:13844832186中文摘要Helmholtz方程边值问题的一种数值解法(摘要)Helmholtz方程边值问题经常出现在许多科学领域和工程应用中，是在物理学中的电磁辐射、声学和地震学中经常遇到的数学问题.许多文献对Helmholtz方程解的性质已经有广泛研究，求解这一问题
5、有很多种数值方法,如差分法[8,9,11]，有限元法[1,2]，边界元法[4,7]等.本文主要研究二维单连通区域上Helmholtz方程边值问题，给出一种简单有效的数值方法—Fourier-Bessel方法.该方法在文献[5,10]中用于求解Helmholtz方程柯西问题，基本思想是基于Fourier-Bessel函数的稠密性，可以通过Fourier-Bessel函数的线性组合逼近边值问题的精确解，从而将问题转化为求解线性组合的系数.然后通过用边界条件建立有关系数的算子方程，由于算子方程是紧的且单的，需要用正则化方法求解，
6、从而求得线性组合的系数，得到Helmholtz方程的近似解.最后通过估计算子最小奇异值的下界，给出数值解的收敛性和稳定性分析.其主要思想如下：设区域?⊂?2为有光滑边界的单连通有界区域.考虑如下边值问题2Δ?+??=0,in?,(1)??+???=?,on??,(2)??其中?>0为波速，?为??的单位外法向量，?∈?2(??).定义Fourier-Bessel函数??(?)(?∈?)为2
7、?
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10、!?????(?):=??(??)?,(3)?
11、?
12、?
13、?
14、1中文摘要其中极坐标变换(?,?):?=(?cos?,?sin?
15、),常数?>??=max?∈?
16、?
17、.Fourier-Bessel方法的基本思想为通过线性组合Fourier-Bessel函数??(?)来逼近边值问题（1）-（2）的解，即∑︁??(?)≈??(?)=????(?),(4)?=−?其中??(?∈?)为常数.??为Helmholtz方程的近似解，我们要求解系数??(?∈?)，利用边界条件定义下面算子方程：??c?=?,on??,(5)?:C2?+1→?2(??)定义为?∑︁??∑︁?(??c?)(?):=??????(?)+????(?),?∈??,(6)???=−??=−?
18、c=(?,?,?,...,?,?)∈C2?+1.N01−1?−?由定理2.3可知存在∑︁?**??(?)=????(?),(7)?=−?c*=(?*,?*,?*,...,?*,?*)?∈C2?+1.我们有N01−1?−?*???cN=??,on??,(8)?2−?其中‖??−?‖?2(??)≤?0??+
