2018年秋高中数学 导数及其应用3.1变化率与导数3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念学案

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1、3.1.1　变化率问题3.1.2　导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自主预习·探新知]1．函数的平均变化率(1)定义式：＝.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率＝表示割线P1P2的斜率．思考：Δx，Δy的取值一定是正数吗？[提示]　Δx≠0，Δ

2、y∈P.2．函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率(1)定义式：＝.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值．(3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．3．函数f(x)在x＝x0处的导数函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′

3、x＝x0，即f′(x0)＝＝.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy表示f(x2)－f(x1)，Δy的值可正可负也可以为零．(　　)(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　　)(3)函数f(x)＝x在x

4、＝0处的瞬时变化率为0.(　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．已知函数f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为(　　)A．0.40　　　B．0.41　　　C．0.43　　　D．0.44B　[Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s＝3＋t2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为(　　)【导学号：97792121】A．0.41　　　　B．3　　　　C．4　　　　D．4.1D　[Δ＝＝＝4.1.][合作探究·攻重难]求函数的平均变化率　(1)若函数f(x)＝2x2－1的图象上

5、一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy)，则＝(　　)A．4　　B．4x　　　C．4＋2Δx　D．4＋2(Δx)2(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图311，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，，，则三者的大小关系为__________．图311(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________．[解]　(1)Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝2(Δx)2＋4Δx∴＝2Δx＋4，故选C.(2)由题意知，＝kOA，＝kAB，＝kBC.根据

6、图象知<<.(3)Δv＝π×23－π×13＝π.∴＝π.[答案]　(1)C　(2)<<　(3)π[规律方法]　求函数y＝f(x)从x0到x的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量Δx＝x－x0.(2)求函数的增量Δy＝y－y0＝f(x)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)．(3)求平均变化率＝.提醒：Δx，Δy的值可正，可负，但Δx≠0，Δy可为零，若函数f(x)为常值函数，则Δy＝0.[跟踪训练]1．(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为____

7、____．(2)已知函数f(x)＝－x2＋x的图象上的一点A(－1，－2)及临近一点B(－1＋Δx，－2＋Δy)，则＝________.(1)6x0＋3Δx　12.3　(2)－Δx＋3　[(1)函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.(2)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－[－(－1)2＋(－1)]＝－(Δx)2＋3Δx，∴＝＝－Δx＋3.]求瞬时

8、速度　若一物体的运动方程为s＝(路程单位：m，时间单位：s)．求：(1)物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度；(2)物体在t＝1s时的瞬时速度．[思路探究]　(1)先求Δs，再根据＝求解．(2)先求，再求.[解]　(1)因为Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt＝2s，所以物体在t＝3s到t＝5s这段时间内的平均速度为＝＝24(m/s)．(2)因为Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt)2－12Δt](m)，所以＝＝3Δt－12(m/s)，则物体在t＝1s时的瞬时速度为＝(3Δt－12)＝－

9、12(m/s)．[规律方法]　1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s