2018年秋高中数学 导数及其应用3.1变化率与导数3.1.3导数的几何意义学案

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1、3.1.3　导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，Pn(xn，f(xn))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点Pn(xn，f(xn))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f

2、′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示]　不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝.[基础自测]1．思考辨析(1)

3、直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．(　　)(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．(　　)(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．(　　)(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线(　　)A．不存在　　　　　B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B　[由f′(x0)＝0知，曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，所以切线与x轴平行或重合．

4、]3．如图315所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝(　　)【导学号：97792127】图315A．B．1C．2D．0C　[由题意知f′(5)＝－1，f(5)＝－5＋8＝3，则f(5)＋f′(5)＝2.][合作探究·攻重难]求曲线的切线方程　(1)y＝－在点处的切线方程是(　　)A．y＝x－2　　　　　　B．y＝x－C．y＝4x－4D．y＝4x－2(2)已知曲线y＝x3－x＋2，则曲线过点P(1,2)的切线方程为__________．[思路探究]　(1)先求y′

5、x＝，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方

6、程，利用点P(1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析]　(1)先求y＝－在x＝处的导数：Δy＝－＋＝.y′

7、x＝＝＝＝4.所以切线方程是y＋2＝4，即y＝4x－4.(2)设切点为(x0，x－x0＋2)，则得y′

8、x＝x0＝＝((Δx)2＋3x0Δx＋3x－1)＝3x－1.所以切线方程为y－(x－x0＋2)＝(3x－1)(x－x0)．将点P(1,2)代入得：2－(x－x0＋2)＝(3x－1)(1－x0)，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，所以x0＝1或x0＝－，所以切点坐标为(1,2)或，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0，当切点为时，

9、切线方程为y－＝－x＋，即x＋4y－9＝0，所以切线方程为2x－y＝0或x＋4y－9＝0.[答案]　(1)C　(2)2x－y＝0或x＋4y－9＝0[规律方法]　1.求曲线在某点处的切线方程的步骤2.求过点(x1，y1)的曲线y＝f(x)的切线方程的步骤(1)设切点(x0，y0)(2)求f′(x0)，写出切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)(3)将点(x1，y1)代入切线方程，解出x0，y0及f′(x0)(4)写出切线方程．[跟踪训练]1．(1)曲线y＝f(x)＝在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x＋2y＋4＝0　[y′＝＝＝＝－，因此曲线f(x)在点(－2，－1)处

10、的切线的斜率k＝－＝－.由点斜式可得切线方程为y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.](2)试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解]　设所求切线的切点为A(x0，y0)．∵点A在曲线y＝x2上，∴y0＝x，又∵A是切点，y′＝＝＝2x.∴过点A的切线的斜率y′

11、x＝x0＝2x0.∵所求切线过P(3,5)和A(x0，y0)两点，∴其斜率为＝.∴2x0＝，解得x0