4.1复数的概念

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1、第四章数系的扩充___复数4.1复数的概念一.复数的概念数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程的需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。我们知道，对于实系数一元二次方程ax2+bx+c=0，当b2－4ac<0时，没有实数根。那么我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题可以得到圆满的解决呢？回答是肯定的。实际上最根本的问题就是要解决1的开平方问题，即怎样的一个

2、数，它的平方会等于－1。现在我们就引入这样一个数i，把i叫做虚数单位，并且规定：（1）i21；（2）实数可以与i进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结合率和分配率)仍然成立。这样就解决了前面所提出的问题，即1可以开平方，且－1的平方根为i.形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.二.复数集复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。全体复数所成的集合叫

3、做复数集.这样实数集就是复数集的一个子集。它们的关系如下：三.复数相等的定义根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。如果两个复数的实部和虚部分别相等,我们就说这两个复数相等.例1.实数m取什么数值时，复数z=m+1+(m－1)i是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解：复数z=m+1+(m－1)i中，因为m∈R，所以m+1，m－1都是实数，它们分别是z的实部和虚部，∴（1）m=1时，z是实数；（2）m≠1时

4、，z是虚数；（3）当时，即m=－1时，z是纯虚数；例2.已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x,y∈R，求x,y.解：根据复数相等的意义，两个复数相等则实部等于实部，虚部等于虚部，得方程组，解得x=,y=4.xo1你能否找到用来表示复数的几何模型吗？实数可以用数轴上的点来表示。一一对应规定了正方向，直线数轴原点，单位长度实数数轴上的点(形)(数)(几何模型)复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数

5、平面(简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题复数z=a+bi有序实数对(a,b)直角坐标系中的点Z(a,b)xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐标系来表示复数的平面x轴------实轴y轴------虚轴（数）（形）------复数平面(简称复平面)一一对应z=a+bi概念辨析例题实数绝对值的几何意义:能否把绝对值概念推广到复数范围呢？XOAa

6、a

7、=

8、OA

9、实数a在数轴上所对应的点A到原点O的距离。xOz=a+biy

10、z

11、=

12、OZ

13、复数的绝对值复数z=a+bi在复平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。(复数的模)的几何意义:Z(a,b)例3

14、求下列复数的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(3)满足

15、z

16、=5(z∈C)的z值有几个？思考：(2)满足

17、z

18、=5(z∈R)的z值有几个？(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<0)(1)复数的模能否比较大小？这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？图示课堂小结：一.数学知识：二.数学思想：(1)复数相等(2)复平面(3)复数的模(3)类比思想(2)数形结合思想(1)转化思想课题：复数的有关概念(A)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；(B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；(C)在复平面内

19、，实轴上的点所对应的复数都是实数；(D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数。辨析：1．下列命题中的假命题是（）D2．“a=0”是“复数a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的（）。(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)不充分不必要条件C例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。表示复数的点所在象限的问题复数的实部与虚部所满足的不等式组的问题转化(几何问题)(代数问题)一种重要的数学思想：数形结合思想例2已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i

20、在复平面内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。变式：证明对一切m，此复数所对应的点