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1、混沌学简介什么是混沌一维虫口模型――逻辑斯蒂映射洛仑兹吸引子单摆的物理模型单摆中的混沌现象远古时代，人们对大自然的变幻无常有着神秘莫测的恐惧，几千年的文明进步使人类逐渐认识到，大自然有规律可循。物理学中有两种人们普遍接受的认识自然的观点，一个是由牛顿经典力学建立起来的因果决定论观点，另一个是由统计力学和量子力学发展起来的概率论观点，这两种规律实验于不同的对象。什么是混沌经典力学的追随者认为，只要近似知道一个系统的初始条件和理解自然定理，就可计算系统的近似行为。世间事物的行为方式具有一种收敛性，这样的信念使经典力学在天文学上的预言获得了辉煌的成就，如海王
2、星的发现。人们研究天王星时发现其轨道存在某些极小的不规则性，这使人们怀疑天王星外还有一颗未知行星。英国亚当斯根据开普勒定理算出了这颗新星何时出现在何方位，德国科学家戈勒进行探索，在与预计位置差1°的地方发现了此星。于是海王星的发现成为经典决定论最成功的例证。经典力学的成功无疑给人们巨大的信心，以致把宇宙看成一架庞大时钟的机械观占据了统治地位。伟大的法国数学家Laplace的一段名言把这种决定论的思想发展到了顶峰，他说：“设想某位智者在每一瞬时得知激励大自然的所有力及组成它的所有物体的相互位置，如果这位智者博大精深能对这样众多的数据进行分析，把宇宙间最庞
3、大的物体和最轻微的原子的运动凝聚在一个公式之中，对他来说，没有什么事物是不确定的，将来就象过去一样清晰展现在眼前”。牛顿力学在天文上处理最成功的是两体问题，如地球和太阳的问题，两个天体在万有引力作用下围绕它们共同质心作严格的周期运动。正因如此，我们地球上的人类才有安宁舒适的家园。WhatisaProbability?Thetossingofonedice2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,121/36,2/36,3/36,4/36,5/36,6/36,5/36,4/36,3/36,2/36,1/36Thetossingoftwodice什么是混
4、沌呢？混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随机的运动，其本质是系统的长期行为对初始条件的敏感性。如我们常说“差之毫厘，失之千里”。西方控制论的创造者维纳对这种情形作了生动的描述：钉子缺，蹄铁卸；蹄铁卸，战马蹶；战马蹶，骑士绝；骑士绝，战事折；战事折，国家灭。钉子缺这样一微不足道的小事，经逐级放大竟导致了国家的灭亡。系统对初值的敏感性又如美国气象学家洛仑兹蝴蝶效应中所说：“一只蝴蝶在巴西煽动翅膀，可能会在德州引起一场龙卷风”，这就是混沌。你可能會認為混沌的系統一定很複雜，但其實一個很簡單的數學例子便可以為你解釋混沌。xn+1=2xn2-1x0=0.6x
5、0=0.6001?nxnx0=0.6x0=0.6001xn+1=2xn2-1nxn上述例子說明了經典混沌系統兩個十分重要的特性﹕(1)系統的變化驟看似是毫無規則，但實際上是由物理定律所決定的。(2)系統的演化對初始條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別(就例如0.6和0.6001只相差六千分之一！)，在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍的結果。眾所周知，要預測一個系統的未來，除了要知道它背後的物理法則外，還要知道初始條件。可是，我們在量度一個系統的初始狀態時總會引入一些誤差。在混沌系統中，不管這些誤差開始時如何細小，在一段時間後，它也會不斷擴大，使系統
6、的真實狀況和我們的預測相距極遠。混沌系統這種獨有的特性，使我們幾乎無法預測它的未來。xn+1=2xn2-1xn+1=xn2/2-12x2–x-1=0x2–2x-2=0我们每天都收听或收看天气预报，尽可能准确进行长期天气预报是人类梦寐以求的愿望。计算机的发明和发展，为人类预报天气提供了有力的工具。大气实际上是无数冲来撞去的分子组成的，它们是不连续的，但在经典力学中，通常把大气当成连续、光滑的理想流体来代替。几百年前，欧拉和伯努利就写出了描述这种流体的运动方程。洛仑兹是一个气象学家，在孩提时代就是个气象迷，反复记录着他家房子外的小观测站里温度计的读数。他同
7、时也热爱数学，热爱数学的纯洁性。正是这两种爱好，使他在混沌研究这个领域做出了开创性的工作。洛仑兹吸引子洛仑兹在研究天气的不可预测性时，从流体的运动方程出发，通过简化方程获得了具有三个自由度的系统，其中x、y、z为无量纲量，分别表征对流强度，对流中升流与降流间的温差和竖直方向温度分布的非线性度。任意给定初值，系统最终都会回到状态空间的特定区域内，洛仑兹那时正在用他的"皇家马克比"计算机对大气系统进行模拟，以便寻找进行长期天气预报的方法。有一次偶然的机会，洛仑兹没有把一次运算从头算起，他走了一条捷径，从中途去启动，把前面打印出来的结果做为初始条件输入。这新
8、一轮的计算原本应当重复前一次的计算结果，因为程序并没有变，然而当他看到打印结果时，却目瞪口呆，
