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《矩阵的相随关系及其性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、第!"卷第#期杭州师范大学学报!自然科学版"%&'(!")&(#$"!!年!!月!"#$%&'"()&%*+,"#-"$.&'/%012$3045!-&4#$&'6702%7289040"%")&*($"!!!"#&!"(.3#3'<(7==;(!#/0+$.$>($"!!("#("!0矩阵的相随关系及其性质宛凌宇!杭州师范大学理学院"浙江杭州.!"".##摘!要#引进了矩阵间的相随关系%用以研究同时相似上三角化的矩阵关系(讨论了相随矩阵的相关性质%得到了相随关系的判定条件%并给出了相随关系的应用(关键词#矩阵#相随#同时上三角化中图分类号#S!1!!!!!!N@=&%(%#!
2、1B!#!!!!!文献标志码#B文章编号#!#/0+$.$>!$"!!""#+"10.+"."!引!言通过相似变换把矩阵化成比较简单的形式%这一方法在矩阵理论中扮演着重要角色(曾有文章讨论两)!+0*个矩阵同时对角化(在实际研究与应用中%两个矩阵同时化成三角矩阵具有更广泛的研究范围(该文主要讨论两个矩阵可以同时化成上!下"三角形的条件%以及满足此类关系的矩阵的性质(为方便叙述%文中讨论的矩阵都是数域;上的,阶方阵2符号=$代表矩阵=的伴随矩阵%=U代表=的转置%=a!代表=的逆矩阵2!!定义与基本性质定义(!称矩阵=与>关于?上相随%如果?可逆%并且?a!a!=?与?>?均为上
3、三角矩阵%记作=>,在不致引起混乱的时候%也称=与>是上相随的,类似的%可以定义下相随的概念以及符号,把矩阵这种上相随与下相随的关系统称为相随,定义&!与=关于?上相随的矩阵全体称为=关于?的上相随类%记作)=*?,类似的可以定义=关于?的下相随类)=*?2由此可见%两个矩阵相随%当且仅当它们属于同一相随类2为方便相随关系在特征值方面的应用%引入如下定义&定义)!设%!$j!%$%.%6%,"是矩阵=的特征值%?可逆且$%!$$6$%!""6"/1/1"%$$6$"%$"6"a!%称矩阵为=关于?的值序矩阵%简称=的?=?j""%.6$""%.6"77770"""6%,20""
4、"6%,2值序矩阵%记作@?=2收稿日期#$"!!+"1+!3作者简介#宛凌宇!!3,/$"%男%河北廊坊人%基础数学专业硕士研究生%主要从事代数研究(4+567'&=9Y9Y;f'b$""#!!#.(8&5100杭州师范大学学报!自然科学版"$"!!年!以下给出满足相随关系的矩阵的相关性质2性质(!=与>上相随当且仅当=与>下相随%即存在可逆矩阵?使得=>当且仅当存在可逆矩阵A使得=>,!/1D证明!必要性&由于存在可逆矩阵?%使得=>%令Bj%Aj?B%显然有=>%!0!2因此%必要性成立,类似地可以证明充分性,故得性质!,由于上相随与下相随等价%以后研究相随矩阵时%只需研
5、究上相随矩阵即可,性质&!是一个等价关系,$%当=不可逆时=性质)!规定8=9j%-是数域;上的二元多项式%则-!=%8=9"*)=*?24a!%当=可逆时=证明!只需证明8=9*)=*?即可,?a!a!a!a!a!=?为上三角矩阵,当=可逆时%!?=?"j?=?%为上三角矩阵%所以=a!?#当=不可逆时%?$a!%!?a!$$$!?$"a!a!$*)=*j??=?"j?=j?=?%a!a!$也为上三角矩阵%从而=$???=?为上三角矩阵%故!?=?"*)=*,综上%8=9*)=*,从这个性质可知%零矩阵(%数量矩阵JC%=a!%=$?*)=*,设-!<"是数域;上任意一个多项
6、式%则-!="*)=*??%则=`>%=>与>=*)=*?,=%>*)=*,性质*!设=%=%=%6%=)=*?且!$.#*"""6"%$!""6"%,!""6"/1/1/1"%!$"6""""6""%,$"6"?%@?%6%@?%@=j""%!.6"=j""%$.6"=j""%,.6"!$,7777770"""6%!,20"""6%$,20"""6"2,则E=Jj(2JK!)1*这个性质在证明K657'W&;+I6'6b定理的过程中起着关键作用2$!主要结果下面给出相随关系的一些必要的和充分的条件%用以判定矩阵是否满足相随关系2定理(!=与>相随%则=与>至少有一个相同的特征
7、向量,证明!设=>%则?的第一个列向量即为所求,定理&!=与>相随当且仅当存在一个酉矩阵D%使得=与>关于D上相随,证明!定理的充分性是显然的%因此只需证明必要性,设存在一个可逆矩阵?%使得?a!a!=?与?>?为对角矩阵,存在矩阵D%8%使得?jD8%其中D是酉矩阵%8是上三角矩阵,从而?a!a!a!=?j8D=D8%a!a!a!a!a!?>?j8D>D8%显然D=D与D>D也为对角矩阵,从而=>,由定理$很容易找到一对不相随的矩阵%从而说明相随关系不是普遍存在的,例!设实方阵=是个非零的
