矩阵函数的性质及其应用

《矩阵函数的性质及其应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、-14-矩阵函数的性质及其应用摘要本文从多项式和幂级数两个方面给出了矩阵函数的两种定义方式，从定义出发推导了若干性质及其多种矩阵函数的求法，在计算中根据适当的情况进行选择，起到事半功倍的作用，文章末尾还给出了其在实际中的应用，为解决实际问题带来很多方便。关键词：矩阵级数矩阵函数Jordan标准型线性微分方程MatrixfunctioncalculusanditsapplicationAbstractThispaper,fromthepolynomialandpowerseriestwoaspectsof

2、thematrixfunctionaregiventwodefinitionway,isderivedfromthedefinitionofsomepropertiesofmatrixfunctionandthemethod,themethodofaccordingtochooseappropriate,risetogettwicetheresultwithhalftheeffect,thearticlealsogivestheendintheactualapplication,tosolvepract

3、icalproblemsbringmanyconvenientKeywords:MatrixseriesMatrixfunctionJordancanonicalformLineardifferentialequation-14-目录摘要I关键词I第一章引言1第二章矩阵函数2矩阵函数的定义2矩阵函数的性质2第三章矩阵函数的计算6第四章矩阵函数的应用11矩阵函数在线性微分方程的应用11结束语14致谢语14参考文献14-14-第一章引言为了讨论方便，引入一下记号：1、表示数域F上矩阵全体的线性空间；2、表示

4、复矩阵集；3、数域F上的纯量多项式；4、表示的谱，即；5、表示的谱半径，即6、对于给定的矩阵，凡满足的多项式称为矩阵A的零化多项式（一般取首项系数为1）7、其中次数最低的零化多项式称为矩阵A的最小多项式，记做8、文献[1]给出矩阵级数的定义：定义1：设是的矩阵序列，其中，无穷和称为矩阵级数，记为.对正整数，记称为矩阵级数的部分和，如果矩阵序列收敛，且有极限，即，则称矩阵级数收敛，并称为矩阵级数的和，记为不收敛的矩阵级数称为发散的.定义2：设，形如的矩阵级数称为矩阵幂级数.-14-第二章矩阵函数矩阵函数的

5、定义矩阵函数的多项式表示：设是数域F上的一个阶矩阵，简记为，是数域F上的一个次多项式，简记为，将此多项式中换成，其中换成单位矩阵，则矩阵函数可以定义为：矩阵函数的幂级数表示：设，如果一元函数能够展开为z的幂级数=，0表示该幂级数的收敛半径.当n阶矩阵A的谱半径时，把收敛的矩阵幂级数的和称为矩阵函数，记为，即=矩阵函数的性质性质1：和可交换，即证设纯量多项式，则矩阵多项式为，于是==性质2：函数和（或差）的矩阵函数等于矩阵函数的和（和差），即性质3：函数积的矩阵函数等于矩阵函数的积，即-14-

6、性质4：若,则，即若，则证由于，故存在可逆矩阵，使得，若是纯量多项式，则,即性质5：设，，且,函数在上有定义，在上有定义，则证设，的最小多项式的次数分别为和，则存在次数不超过的多项式和次数不超过的多项式，使得由于，因此对任意正整数，，有，从而A的多项式与B的多项式相乘时可交换，即得性质6：设，A的特征值都是正实数，是系数为非负实数的幂级数的和函数，它的收敛半径，则，且证因为A的特征值都是正实数，且是系数为非负实数的幂级数的和函数，因此的特征值为，其中是A的特征值，所以若不恒为0，则，从而；若恒为0，则，

7、从而。性质7：设，函数在上有定义，则证由于与相似，因此，与有相同的谱，也有相同的最小多项式，由在-14-上有定义，则在上有定义，且在与的谱上的值相同，因此可取相同的多项式，使得.所以性质8：设A是对称矩阵，函数在上有定义，则是对称矩阵性质9：设A是实对称矩阵，实函数在上有定义，且对A的任一特征值，有，则是正定矩阵。证由为实函数，A是实对称矩阵，根据性质8知，是实对称矩阵，又因为的特征值为，其中是A的特征值，所以是正定矩阵。性质10：设A是反对称矩阵，函数在上有定义，且为奇函数，则是反对称矩阵。证由性质7

8、得,又由于为奇函数，，所以即是反对称矩阵。下面给出一些常用的矩阵函数的基本性质：矩阵指数函数的基本性质：(1)若，则;(2)；(3)证（1）因为矩阵加法满足交换律，所以只需证明就行了.根据矩阵指数函数的表达式可得-14-(2)在（1）中令B=-A,则得,所以(3)设A的特征值为，则的特征值为，因此矩阵三角函数的基本性质：(1)(2)，(3)(4)若，则证(1)因为，将分为偶数和奇数，则有(2)同(1)证可得两式相加得两式相减得(3)因为，所