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《§1.5系统的特性和分类-例证》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、LTI系统微分特性证明f(t)→yzs(t)f(t-△t)→yzs(t-△t)根据时不变性质，有利用线性性质得对零状态系统△t→0得判断时不变系统举例例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f(k)f(k–1)（2）yzs(t)=tf(t)（3）yzs(t)=f(–t)解(1)令g(k)=f(k–kd)T[{0}，g(k)]=g(k)g(k–1)=f(k–kd)f(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f(k–kd)f(k–kd–1)显然T[{0}，f(k–kd)]=yzs(k–kd)故该系统是时不变的。(2)令g(
2、t)=f(t–td)，T[{0}，g(t)]=tg(t)=tf(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f(t–td)显然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。(3)令g(t)=f(t–td),T[{0}，g(t)]=g(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f[–(t–td)]，显然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：若f(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。判断线性系统举例例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y(t
3、)=3x(0)+2f(t)+x(0)f(t)+1（2）y(t)=2x(0)+
4、f(t)
5、（3）y(t)=x2(0)+2f(t)解：（1）yzs(t)=2f(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，y(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）yzs(t)=
6、f(t)
7、，yzi(t)=2x(0)y(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{af(t)},{0}]=
8、af(t)
9、≠ayzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）yzi(t)=x2(0)，T[{0},{ax(0)}]=[a
10、x(0)]2≠ayzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。微分方程描述系统的线性判断判
11、断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有齐次性和可加性。可以证明：所以此系统为非线性系统。请看下面证明过程系统不满足均匀性系统不具有叠加性证明齐次性设信号f(t)作用于系统，响应为y(t)原方程两端乘A：(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足齐次性当Af(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则证明可加性(5)、(6)式矛盾，系统不具有可加性假设有两个输入信号分别激励系统，则由所给微分方程式分别有：当同时作用于系统时，若该系统为线性系统，应有(3)+(4)得因果系统判断举例如下列系统均
12、为因果系统：yzs(t)=3f(t–1)而下列系统为非因果系统：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)因为，令t=1时，有yzs(1)=2f(2)因为，若f(t)=0，t0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应y2(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0；求输入f3(t)=
13、+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。解设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。由题中条件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根据线性系统的齐次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t
14、)=3y1zs(t)，代入式（2）得y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得y1zs(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1zs(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态
