第二章第8讲函数方程

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1、第8讲　函数方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这

2、个c也就是方程f(x)＝0的根．[做一做]1．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是________．解析：因为函数f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上有零点，－＜0，所以f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得－2

3、数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)<0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0∈________(填区间)．解析：由f(2)·f(3)<0可知x0∈(2,3)．答案：(2,3)1．必明辨的2个易错点(1)函数的零点不是点．(2)f(a)·f(b)<0是f(x)在(a，b)内存在零点的一个充分不必要条件．[练一练]1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．解析

4、：因为2a＋b＝0，所以g(x)＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)．所以零点为0和－.答案：0，－2．若a0，f(b)<0

5、，f(c)>0，所以f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．答案：(a，b)和(b，c)2．常用的2个结论对于任意函数，只要它的图象是连续不间断的，其函数零点具有以下性质：(1)当它通过零点且穿过x轴时，函数值变号；(2)相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．[练一练]3．已知函数f(x)＝lnx－x＋2有一个零点所在的区间为(k，k＋1)(k∈N*)，则k的值为________．解析：由题意知，当x>1时，f(x)单调递减．又因为f(3)＝ln3－1>0，f(4)＝ln4－2<0，所以，该函

6、数的零点在区间(3,4)内，所以k＝3.答案：33．必会的1种方法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．[练一练]4．已知

7、x

8、－2的零点个数为________．解析：在同一坐标系中分别作出y＝及y＝2－

9、x

10、的图象，得两个函数图象共有4个交点，所以函数f(x)的零点个数是4.答案：4考点一　函数零点的判断　　判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝log2(x＋

11、2)－x，x∈[1,3]．[解]　(1)法一：因为f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，所以f(1)·f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，x∈[1,8]．所以(x－6)(x＋3)＝0，因为x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，所以f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]存在零点．(2)法一：因为f(1)＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log25－3

12、，所以f(1)·f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．法二：设y＝log2(x＋2)，y＝x，在同一直角坐标系中画出它们的图象，从图象中可以看出当1≤x≤3时，两图象有一个交点，因此f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]存在零点．[方法归纳]　求解函数的零点存在性问题常用的方法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象，值得说明的是，零点存在性定理是充分