《3.2.3 空间的角的计算》课件

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1、空间的角的计算空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。空间的角：空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求范围内的角；斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是；两个

2、平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是。总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。异面直线所成角的范围：思考：结论：一、线线角：所以与所成角的余弦值为解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系,如图所示，设则：所以：例一：练习：在长方体中，简解：斜线与平面所成的角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角AOB二、线面角当直线与平面垂直时，直线与平面所成的角是90°当直线在平面内或与平面平行时，直线与平面所成的角是0°斜线与平面所成的角（0°,90°）直

3、线与平面所成的角〔0°,90°〕异面直线所成的角（0°,90°〕若斜线段AB的长度是它在平面内的射影长的2倍，则AB与所成的角为。60°ABO最小角原理AOBC斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。AOBC如图,直线OA与平面所成的角为1,平面内一条直线OC与OA的射影OB所成的角为2,设∠AOC为求证:cos=cos1×cos2若直线l1与平面所成的角为60°，则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为，最大的角为。90°60°Ol1若直线l1与平面所成的角

4、为30°，直线l2与l1所成的角为60°,求直线l2与平面所成的角的范围?l10°,90°l2l2例题、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD所成的角ABCDA1B1C1D1OSACBOFE如图，ACB=90，S为平面ABC外一点，SCA=SCB=60，求SC与平面ACB所成的角SACBOFE如图，SA,SB,SC是三条射线，BSC=60,SA上一点P到平面BSC的距离是3,P到SB,SC的距离是5,求SA与平面BSC所成的角P例：的棱长为1.正方体xyz直线与平面所成角的范围：

5、思考：结论：二、线面角：例1：的棱长为1.正方体xyz设正方体棱长为1，例2如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD。已知AB=2，BC=2，SA=SB=.(1)求证(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCDOxyzSABDOC证明：(1)取BC中点O，连接OA、OS。(2)求直线SD与平面SAB所成角的正弦值。SABCOxyzD所以直线SD与平面SAB所成角的正弦值为例3、如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PD=DC，E是PC的中

6、点。(1)证明：PA//平面EDB；(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyzABCDPEGxyz(1)证明：设正方形边长为1，则PD=DC=DA=1.连AC、BD交于G点(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。ABCDPEGxyz所以EB与底面ABCD所成的角的正弦值为所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为二面角一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分，其中的每一部分都叫做射线。2OBAAB从一条直线出发的两个半平面所组

7、成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。3定义:AB二面角－AB－l二面角－l－二面角C－AB－DABCD5OBA∠AOB表示方法：lOO1ABA1B1∠AOB∠A1O1B1？以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。平面角是直角的二面角叫做直二面角9二面角的大小用它的平面角来度量度量：二面角的平面角必须满足：3）角的边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内以二面角的棱上任意一点为端点，

8、在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。10lOAB二面角的计算：1、找到或作出二面角的平面角2、证明1中的角就是所求的角3、计算出此角的大小一“作”二“证”三“计算”16１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是__