次型及其标准型3

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1、中南财经政法大学信息系第一节二次型及其标准形第六章二次型定义6.1称n元二次齐次函数(6.1)为的一个n元二次型，若其中系数均为实数，称之为实二次型。本章只讨论实二次型。一、二次型的定义(6.1)式可以写成记(6.2)f也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式：证明如下:称式（6.2）为二次型（6.1）的矩阵形式，矩阵A称为二次型所对应的矩阵，矩阵A的秩称为二次型的秩。在A中，为（6.1)中的系数，为（6.1）中混合项系数的一半。显然，A是一个n阶对称矩阵，即。从二次型的定义可以看到：(1)二次型的矩阵都是对称的矩阵。(2)二次型和它的矩阵是一一对应的。例11）写出二次型所

2、对应的矩阵。2）写出矩阵所对应的二次型。解1）原二次型所对应的对称矩阵为：2）矩阵对应的二次型为：定义6.2设有两组变量；，其中一组变量可以写成另外一组变量的线性组合，即有：（6.3）二、线性变换则称上式为由到的一个线性变换（或线性替换）由系数组成的矩阵称为线性变换（6.3）的矩阵。记；，那么，（6.3）式可以写为：若，则称（6.3）式为可逆（或非退化）的线性变换。若C为正交矩阵，则称（6.3）为正交线性变换。注意：本章中的线性变换都为可逆或正交线性变换.本章主要问题之一：找一个恰当的线性变换，使二次型形式更简单（只含有平方项）。做线性变换后，二次型所对应的矩阵和原二

3、次型矩阵之间具有某种关系，这种关系就是合同。定义6.3设A和B为两个n阶矩阵，如果存在一个n阶可逆矩阵C，使得，那么，称A与B合同。合同关系具有下列性质：(1)反身性(2)对称性(3)传递性(4)合同的矩阵有相同的秩三、矩阵的合同关系定理6.1二次型经可逆线性变换后仍为二次型，且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。证明：设二次型，经过可逆线性替换,得：设，则可得：又因为所以B是对称矩阵，为新二次型对应的矩阵.又因为有，C可逆，所以A与B合同。注意：变换前后两二次型矩阵的形式第二节化二次型为标准形定义6.4若二次型经过可逆线性替换化为（6.4）称这种只具有平方项的二次型（6

4、.4）为二次型（6.1）的标准形.一、二次型的标准形将二次型的标准型化成矩阵形式，易知，标准形的矩阵具有对角阵形式：说明成为对角阵定理6.2任意一个二次型都可以经过非退化的线性变换化为标准形：二、配方法化二次型为标准形证明：数学归纳法。定理6.2的矩阵描述：定理6.3任何一个对称矩阵都与一个对角矩阵合同。即对任意一个对称矩阵A，存在一个可逆矩阵C，使，D为对角形。证明：设A为n阶对称矩阵，那么可以得到唯一的二次型根据定理6.2，可以通过可逆线性变换化为标准形，其中D为对角形。又根据定理6.1可知解例2含有平方项去掉配方后多出来的项所用变换矩阵为例3化二次型为标准形，并

5、求所用的非退化线性变换。解在二次型中，不含有的平方项，而含有交叉项，为了利用上面配方时所用的方法，先作可逆线性变换：（6.6）再用例3的方法进行配方，即令即（6.7）在上面的配方中，用了两个可逆的线性变换，将（6.7）式代入（6.6）式，可得：即为所求的可逆线性变换此时，原二次型所对应的标准形为：配方法化二次型标准形：（1）若二次型中含有平方项，则在针对某个含平方项的变量进行配方时，应对所有含此变量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的其它变量进行配方，直到所有的变量都完成配方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，使得原二次型变

6、为标准形。(2)若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.思考题P155例6.4（试用不同的变换）思考题解答三、正交变换化实对称矩阵为标准型证明：设是实二次型，则A为实对称矩阵，则一定能找到一个正交矩阵Q，使得：其中为A的全部特征值则（6.10）作正交变换从而得到二次型的标准形。用正交替换法化实二次型为标准形的一般步骤：1）求出实二次型的矩阵A的全部特征值2)求出使A对角化的正交矩阵Q,即3)作正交线性替换，可使二次型化为标准形：解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例4从而得特征值2．求特征向量3．将特征

7、向量正交化得正交向量组4．将正交向量组单位化，得正交矩阵于是所求正交变换为解例5将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用配方法，或者初等变换方法，这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的非零项数必定相同，项数等于所给二次型的秩．注意：