《10.3 基本不等式及其应用 第1课时》导学案2

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1、《10.3基本不等式及其应用第1课时》导学案目标导航学习目标重点难点1．记住基本不等式，会证明基本不等式；2．能够利用基本不等式证明简单的不等式；3．能够利用基本不等式解决简单的最值问题.重点：应用基本不等式求最值；难点：基本不等式的应用；疑点：基本不等式成立的条件.预习导引1．基本不等式(1)定理1：对任意实数a，b，必有____________(当且仅当a＝b时等号成立)．(2)定理2：如果a，b是正实数，那么____________(当且仅当a＝b时等号成立)．预习交流1两个基本不等式之间有何关系？预习交流2两个平均数与等差中项、等比中项有何关系？2．应用基本不等式求最值x，y都为正

2、数，下面的命题成立：一般地，(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值______；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值______．预习交流3利用基本不等式求最值的条件是什么？自我感悟在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：1．(1)a2＋b2≥2ab　(2)≥预习交流1：提示：不等式≥(a，b∈R＋)是不等式a2＋b2≥2ab的特殊情形，因此两者在结构上相似，并且都是在a＝b时，等号成立；但二者成立的条件是不同的，a2＋b2≥2ab中a，b∈R，但≥中，要求a，b都是正数．预习交流2：

3、提示：从数列的角度来看，a，b为正数时，可以把看作是正数a，b的等差中项，把看作是正数a，b的正的等比中项，这样，均值不等式又可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项．2．(1)　(2)2预习交流3：提示：用基本不等式求最值时要注意：一正，二定，三相等．即：(1)x，y均为正数，特别是出现对数式、三角函数式等形式时，要认真判断；(2)求积xy的最大值时，应看和x＋y是否为定值；求和x＋y的最小值时，应看积xy是否为定值．(3)注意等号是否能够成立．问题导学一、基本不等式的理解活动与探究给出下列结论：①若x≠0，则x＋≥2＝4；②若a＞0，b＞0，则≥；③当x∈时，sinx＋的

4、最小值为6；④若a∈R，则a2＋≥a.其中正确的结论的序号是__________．思路分析：从基本不等式成立的条件：“一正，二定，三相等”入手，对每一个结论分别进行研究，找出其中的正确结论．迁移与应用下列不等式中恒成立的是(　　)．A．(a＋1)≥2(a＞0)B．a2＋≥2(a≠0)C．a2＋9＞6a(a∈R)D．lg(a2＋1)＞lg

5、2a

6、(a≠0)1．两个基本不等式成立的条件有所不同，≥中要求a，b∈R＋，而a2＋b2≥2ab中则只需a，b∈R即可，应用时应注意区分．2．若要通过基本不等式≥得出a＋b的最小值是2，一方面要求ab是定值，另一方面要确保其中的“＝”能取到，即a＝b能成立

7、，否则不能说最小值就是2.二、利用基本不等式证明不等式活动与探究(1)已知m＞0，求证：＋6m≥24.(2)设a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：≥8.思路分析：对于(1)，因为m＞0，所以可把和6m分别看作基本不等式中的a和b，直接利用基本不等式证明；对于(2)，考虑到a＋b＋c＝1，可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a＋b＋c，化简后再利用基本不等式，然后根据不等式的性质证明．迁移与应用1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd.2．已知a＞0，b＞0，且a＋b＝2，求证：＋≥2.1．利用基本不等式证明不等式时，通常可以从已证的不

8、等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为需求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．2．在证明不等式的过程中，注意充分利用“1的代换”，即把常数“1”替换为已知的式子，然后经过整理后再利用基本不等式进行证明．三、利用基本不等式解决简单的最值问题活动与探究已知f(x)＝4x＋.(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0时，求f(x)的最大值．思路分析：当x＞0时，4x＞0，＞0，且4x·＝36是一个定值，故可直接利用基本不等式的变形a＋b≥2求出f(x)的最小值；当x＜0时，4x＜0，＜0，不能直接利用基本不等式，可将函数解

9、析式变形为f(x)＝－，先求(－4x)＋的最小值，从而得到f(x)的最大值．迁移与应用1．已知0＜x＜2，则函数f(x)＝x(2－x)的最大值等于__________．2．若x＜0，则函数f(x)＝1－x－的最小值为________．1．用基本不等式求最值的原理可简单地理解为：“积定和最小，和定积最大”．2．利用基本不等式的变形a＋b≥2可求a＋b的最小值，利用变形ab≤2可求ab的最大值．活动与探究已知x＞1，y＞1且