《2.4 二项分布》 导学案

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1、《2.4二项分布》导学案学习目标1.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题.2.能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算.重点独立重复试验中事件的概率及二项分布的求法，试验的概念及二项分布的概念.难点二项分布模型的构建.教学过程掷一次硬币可看作一次试验，每次试验有两个可能的结果:正面、反面.由于硬币均匀，所以出现正面的概率为，如果将这枚均匀硬币随机掷100次，那么正好出现50次正面的概率是否也是呢？问题1:前一次抛掷的结果是否影响后一次的抛掷的结果？或者说每次抛掷是否相互独立？前一次抛掷的结果　不会　影响后一次的结果，因为它是在

2、相同的条件下作的试验，每一次试验　都是　相互独立的，不会有影响. 问题2:什么是n次独立重复试验？有什么特点？在相同条件下，重复做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验.独立重复试验特点如下:①每次试验是在同样条件下进行的；②各次试验的结果是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生，并且在任何一次试验中，事件发生的概率均相等.问题3:什么是二项分布？一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X=k)= pk(1-p)n-

3、k　，k=0，1，2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作　X~B(n，p)　，并称p为　成功概率　. 利用二项分布来解决实际问题的关键在于在实际问题中建立二项分布的模型，也就是看它是否为n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布.学习交流1.某一试验中事件A发生的概率为p，则在n次这样的试验中，发生k次的概率为(　　).A.1-pk　　　　B.(1-p)kpn-kC.(1-p)k　　　D.(1-p)kpn-k【解析】在n次独立重复试验中，事件恰发生k次，符合二项分布，而P(A)=p

4、，则P()=1-p，故P(X=k)=(1-p)kpn-k，故选D.【答案】D2.已知随机变量X~B(5，)，则P(X≥4)=　　　　. 【解析】P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=()4(1-)+()5(1-)0=.【答案】3.已知某种疗法的治愈率是90%，在对10位病人采用这种疗法后，正好有90%被治愈的概率是多少？(精确到0.01)【解析】10位病人中被治愈的人数X服从二项分布，即X~B(10，0.9)，故有9人被治愈的概率为P(X=9)=×0.99×0.11≈0.39.4.二项分布公式的应用种植某种树苗，成活率为90%，现在种植这种树苗5棵，试求:(1)恰好成活

5、4棵的概率；(2)至少成活4棵的概率；(3)至多成活4棵的概率.(结果保留两位有效数字)【方法指导】由独立重复试验的概率公式计算，结合互斥事件和对立事件的概率求解.【解析】(1)恰好成活4棵的概率为P(X=4)=×0.94×(1-0.9)5-4≈0.33；(2)至少成活4棵的概率为P(X≥4)=×0.94×(1-0.9)5-4+×0.95×(1-0.9)5-5≈0.92；(3)至多成活4棵的概率为P(X≤4)=1-P(X=5)=1-×0.95×(1-0.9)5-5≈0.41.【小结】由于各次种植的概率相同，各次种植之间相互独立，虽然各次种植的时间不同，但可以看作是在相同的条

6、件下进行的五次独立重复试验.在解决实际问题时要把握好独立重复试验概型的基本特征——每次发生的概率相同、各次之间相互独立.5.二项分布的概率分布列9粒种子分别种在3个坑中，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5.若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用X表示补种的费用，写出X的分布列.【方法指导】只需计算每个坑补种的概率即可.【解析】因为一个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1-0.5)3=，所以一个坑不需要补种的概率为1-=.3个坑都不需要补种的概率为×()0×()3≈0.67

7、0，恰有1个坑需要补种的概率为×()1×()2≈0.287，恰有2个坑需要补种的概率为×()2×()1≈0.041，3个坑都需要补种的概率为×()3×()0≈0.002.补种费用X的分布列为:X0102030P0.6700.2870.0410.002　　【小结】如果是在相同的条件下进行的某种活动，如射击、投篮等，其每次活动成功的概率相同，则其成功次数就服从二项分布.有放回与不放回抽取问题在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件不放回，求抽到次品数X的分布列.【方法指导】根据题意判断试验类型，进一步计算.【解