第14课二次函数及其图象

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1、第14课二次函数及其图象1．定义：形如函数叫做二次函数．2．利用配方，可以把二次函数y＝ax2＋bc＋c表示成.要点梳理y＝ax2＋bx＋c(其中a、b、c是常数，且a≠0)y＝a2＋3．图象与性质：二次函数的图象是抛物线，当时抛物线的开口，这时当时，y的值随x的增大而；当时，y的值随x的增大而；当x＝时，y有.当时抛物线开口，这时当时，y的值随x的增大而；当时，y的值随x的增大而；当x＝时，y有.抛物线的对称轴是直线x＝，抛物线的顶点是.a＞0向上x≤－减小x≥－增大－最小值a<0向下x≤－增大x≥－减小－最大值－4．图象的平移：1．正确理解并掌握二次函数

2、的概念以及解析式的三种形式的转化根据定义可知，二次函数需满足两个条件：①a≠0，②x的最高次数为2.一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如果抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点(x1,0)，(x2,0)，则解析式可以写成交点式y＝a(x－x1)(x－x2).将解析式y＝ax2＋bx＋c通过配方法可化成顶点式y＝a(x＋h)2＋k；将顶点式、交点式展开，合并同类项后，即可化成一般式y＝ax2＋bx＋c.[难点正本疑点清源]在已知抛物线上三个点的坐标时，我们通常设一般式，然后将三个点的坐标分别代入关系式中，解方程组，求出各系数，以确定函数关系式

3、；在已知拋物线顶点坐标时，我们通常设顶点式，只要再找到一个条件，即可求此函数关系式；在已知抛物线与x轴两个交点坐标时，我们通常设交点式，再寻找一个条件即可求函数关系式．2．正确认识二次函数与二次方程间的关系已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为k，求自变量x的值，就是解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k；反过来，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝k，就是把二次函数y＝ax2＋bx＋c－k的函数值看做0，求自变量x的值．学习这部分知识，可以类比一次函数与一元一次方程的关系．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点(x1,0)，(x2,0)，同样满足、x1＋x

4、2＝－，x1x2＝；两交点间的距离︱x1－x2︱＝.1．(2011·北京)抛物线y＝x2－6x＋5的顶点坐标为()A．(3,－4)B.(3,4)C．(－3,－4)D．(－3,4)解析：y＝x2－6x＋5＝(x2－6x＋9)－4＝(x－3)2－4，则抛物线顶点坐标为(3,－4)．基础自测A2．(2011·乐山)将抛物线y＝－x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()A．y＝－(x＋2)2B．y＝－x2＋2C．y＝－(x－2)2D．y＝－x2－2解析：抛物线y＝－x2向左平移2个单位，得y＝－(x＋2)2.A3．(2011·重庆)已知抛物线y＝ax2＋b

5、x＋c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是()A．a>0B.b＜0C．c＜0D．a＋b＋c>0解析：当x＝1时，对应的点(1,y)在第一象限内，y＝a＋b＋c>0.D4．(2011·威海)二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示．当y＜0时，自变量x的取值范围是()A．－1＜x＜3B．x＜－1C．x＞3D．x＜－3或x＞3解析：如图，可知x＝－1或3时，y＝0；当－1

6、＝4a；④a＋b＋c＜0.其中正确的个数是()A.1B.2C．3D．4(,1)C解析：根据图象可知：①a＜0，c＞0，∴ac＜0，正确；②∵顶点坐标横坐标等于，∴－＝，∴a＋b＝0正确；③∵顶点坐标纵坐标为1，∴＝1，∴4ac－b2＝4a，正确；④当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，错误．正确的有3个．故选C.题型一　待定系数法确定二次函数的解析式【例1】已知一抛物线与x轴的交点是A(－2,0)、B(1,0)，且经过C(2,8).(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．解：(1)设y＝a(x＋2)(x－1)，又抛物线过C(2,8)，∴8＝a(2＋2

7、)(2－1)，a＝2.∴y＝2(x＋2)(x－1)＝2(x2＋x－2)＝2x2＋2x－4.(2)∵x＝－＝－，∴y＝2×2＋2×－4＝－1－4＝－4，∴顶点坐标为.题型分类深度剖析12探究提高根据不同条件，选择不同设法．(1)若已知图象上的三个点，则设所求的二次函数为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，列方程组，求出a、b、c的值．(2)若已知图象的顶点坐标或对称轴方程，函数最值，则设所求二次函数为顶点式y＝a(x＋m)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数．(3)若已知抛物线与x轴的交点，则设抛物线的解析式为交点式y＝a(x－x1

8、)(x－x2)(a≠0)，再将另一条件代入，可求出a