《2.2.3向量的数乘》教学案

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1、《2.2.3向量的数乘》教学案(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)理解并掌握实数与向量的积的意义．(2)会利用实数与向量的积的运算律进行有关计算．(3)掌握向量共线的条件．2．过程与方法由概念的形成过程体验分类讨论的数学思想的指导作用．3．情感、态度与价值观(1)通过对实数与向量的乘积一节的学习，培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力．(2)实数与向量的积还是一个向量，它的长度和方向的变化由实数λ决定，向学生揭示事物是在不断地运动变化着．(3)通过本节内容的学习，使学生掌握实数与向量的积．从形上看，就是图形的放大或缩小，从而揭示事物在不断地运动变化过程中“万变不改其性”

2、的哲理．●重点难点重点：数乘向量的运算及其几何意义．难点：两向量共线的含义及共线定理．教学方案设计(教师用书独具)●教学建议1．关于数乘向量的概念的教学教学时，建议教师结合学生熟悉的物理知识引出实数与向量的积，并着重强调数乘向量也是向量，也应该从“模”与“方向”两点学习该部分知识，进而得到数乘运算的几何意义．2．关于向量共线的判定定理和性质定理的教学教学时，建议教师从数乘向量的定义及共线向量的定义出发，先让学生由“a(a≠0)，b共线”导出“b＝λa”这一等量关系，在此基础上给出“b＝λa”让学生判断a(a≠0)，b是否共线．从而从正反两方面给出该定理的推导和证明，最后通过典例辅助学

3、生理解并应用．●教学流程⇒⇒⇒⇒⇒⇒课前自主导学课标解读1.掌握向量数乘的运算及其几何意义．(重点)2.理解两个向量共线的含义，掌握向量共线定理．(难点)3.了解向量线性运算的性质及其几何意义.向量数乘的定义【问题导思】　　我们知道a＋a＋a＝3a，那么a＋a＋a是否等于3a？(－a)＋(－a)＋(－a)呢？【提示】　a＋a＋a＝3a，(－a)＋(－a)＋(－a)＝－3a.　一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)

4、λa

5、＝

6、λ

7、

8、a

9、；(2)当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝

10、0.实数λ与向量a相乘，叫做向量的数乘.向量数乘的运算律【问题导思】　　类比实数的运算律，向量数乘有怎样的运算律？【提示】　结合律，分配律．　(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.向量共线定理【问题导思】　　若b＝2a，b与a共线吗？【提示】　根据共线向量及向量数乘的意义可知，b与a共线．　如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b＝λa.课堂互动探究向量数乘的基本运算例1　(1)化简[(4a－3b)＋b－(6a－7b)]；(2)设向量a＝3

11、i＋2j，b＝2i－j，求(a－b)－(a－b)＋(2b－a)．【思路探究】　去括号→合并共线向量→化简．【自主解答】　(1)原式＝[4a－3b＋b－a＋b]＝[(4－)a＋(－3＋＋)b]＝(a－b)＝a－b.(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝(－1－1)a＋(－1＋＋2)b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝(－5＋)i＋(－－)j＝－i－5j.　向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”、“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．变式训练　计算：(1)(－7)×

12、(6a)；(2)(a＋b)－3(a－b)－8a；(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)．【解】　(1)(－7)×(6a)＝－42a.(2)(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.(3)(a＋2b＋c)－2(b－3c)＝a＋(2b－2b)＋(c＋6c)＝a＋7c.向量的表示图2－2－21例2　如图2－2－21，在△ABC中，D，E为边AB的两个三等分点，＝3a，＝2b，求，.【思路探究】　由D，E为边AB的两个三等分点可知A，B，D，E四点共线，从而向量，均可以由向量表示，而向量可由向量，表示，从而问题可解．【自主解答】　∵

13、＝3a，＝2b，∴＝－＝2b－3a，又D，E为边AB的两个三等分点，所以＝＝b－a，所以＝＋＝3a＋b－a＝2a＋b，＝＋＝3a＋＝3a＋(2b－3a)＝a＋b.规律方法用已知向量表示未知向量的求解思路：(1)先结合图形的特征，把待求向量放在三角形或平行四边形中；(2)然后结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量；(3)求解过程体现了数学上的化归思想．互动探究　若本例条件不变，如何求？【解】　＝＝－(2b－3a)＝2a－b，