常微分方程答案_4.2.doc

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1、习题4.22.求解下列常系数线性微分方程：(1)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(2)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(3)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(4)解：特征方程：特征根：基本解组：所求通解：(5)（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：特征方程：特征根：当，齐次方程通解：，此时0不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：当，0是二重特征根，故齐次方程通解：，设特解为，则将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(6)（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：0不是特征根

2、，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(7)（属于类型Ⅰ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：方法一：常数变易法求解设原方程通解为，则所以将代入中即得原方程通解：方法二：比较系数法求解由于0不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(10)（属于类型Ⅱ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：由于1是一重特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，从而特解为，所以所求通解：(12)（属于类型Ⅱ）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：由于2不是特征根，故设特解为，将其代入原方程可得，

3、从而特解为，所以所求通解：(14)（属于类型Ⅲ的混合，注意和中的系数不一样）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：①对于，由于是一重特征根，故设其特解为，则将其代入可得，从而的特解为；②对于，由于不是特征根，故设其特解为，则将其代入可得，从而的特解为。所以原方程特解为，故所求通解：(15)（属于类型Ⅰ和Ⅱ的混合）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：①对于，由于1不是特征根，故设其特解为，则将其代入可得，从而的特解为；②对于，由于2是二重特征根，故设其特解为，则将其代入可得，从而的特解为；③对于，由于0不是特征根，故设其特解为，则将其

4、代入可得，从而的特解为。所以，原方程特解为，故所求通解：(20)（不属于类型Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的混合，用常数变易法求解）解：齐次方程：特征方程：特征根：齐次方程通解：设原方程通解为，则所以所求通解：3.求下列方程的通解：(1)解：做变换，则所以原方程可化为由可得所求通解：