2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明讲义理（含解析）

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1、第4讲　直接证明与间接证明[考纲解读]　1.掌握直接证明的两种基本方法：分析法与综合法．(重点)2.能够用反证法证明问题，掌握反证法的步骤：①反设；②归谬；③结论．(难点)3.综合法、反证法证明问题是高考中的一个热点，主要在知识交汇处命题，如数列、不等式等．[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点.预测2020年将会以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法与反证法的灵活应用，题型为解答题中的一问，试题难度中等.1．直接证明续表2．间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法．(1)反证法的定义：假设

2、原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．(2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．1．概念辨析(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)(4)在解决问题时，常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)答案　(

3、1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．小题热身(1)要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)A．综合法B．分析法C．类比法D．反证法答案　B解析　用分析法证明如下：要证明＋<2，需证(＋)2<(2)2，即证10＋2<20，即证<5，即证21<25，显然成立，故原结论成立．用综合法证明：因为(＋)2－(2)2＝10＋2－20＝2(－5)<0，故＋<2.反证法证明：假设＋≥2，通过两端平方后导出矛盾，从而肯定原结论．从以上证法中，可知最合理的是分析法．故选B.(2)命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4

4、θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了(　　)A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案　B解析　因为证明过程是“从左到右”，即由条件出发，经过推理得出结论，属于综合法．故选B.(3)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是(　　)A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根答案　A解析　因为“方程x3＋ax＋b＝0至少有一

5、个实根”等价于“方程x3＋ax＋b＝0的实根的个数大于或等于1”，因此，要作的假设是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．故选A.题型　分析法的应用(2019·长沙模拟)已知函数f(x)＝tanx，x∈，若x1，x2∈，且x1≠x2，求证：[f(x1)＋f(x2)]>f.证明　要证[f(x1)＋f(x2)]>f，即证明(tanx1＋tanx2)>tan，只需证明>tan，只需证明>.由于x1，x2∈，故x1＋x2∈(0，π)．所以cosx1cosx2>0，sin(x1＋x2)>0，1＋cos(x1＋x2)>0，故只需证明1＋cos(x1＋x2)>2cosx1cosx2，即证

6、1＋cosx1cosx2－sinx1sinx2>2cosx1cosx2，即证cos(x1－x2)<1.由x1，x2∈，x1≠x2知上式显然成立，因此[f(x1)＋f(x2)]>f.条件探究　举例说明中“f(x)”变为“f(x)＝3x－2x”，试证：对于任意的x1，x2∈R，均有≥f.1．分析法证明问题的策略(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．2．分析法的适用范围及证题关键(1)适用范围①已知条件与结论之间的联系不够明

7、显、直接．②证明过程中所需要用的知识不太明确、具体．③含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导．(2)证题关键：保证分析过程的每一步都是可逆的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.求证：＋＝.证明　要证＋＝，即证＋＝3，也就是＋＝1，只需证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，需证c2＋a2＝ac＋b2，又△ABC三内角A，B，C成等差数列，故B＝60°，由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b