（全国版）2019版高考数学一轮复习第11章算法初步、复数、推理与证明第4讲直接证明与间接证明学案

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1、第4讲　直接证明与间接证明板块一　知识梳理·自主学习[必备知识]考点1　直接证明考点2　间接证明1．反证法的定义假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．2．利用反证法证题的步骤(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)由假设出发进行正确的推理，直到推出矛盾为止；(3)由矛盾断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立．简言之，否定→归谬→断言．[必会结论]分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进行分析，寻求结论与条件、基础知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者在证明时将两种方法交叉

2、使用．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．(　　)(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　)(3)用反证法证明结论“a＞b”时，应假设“a＜b”．(　　)(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　)(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√2．要证明＋<2，可选择的方法有以下几种，其中最合理的是(　　)A．综合法B．分析法C．反证法D．归纳法答案　B解析　从要证

3、明的结论——比较两个无理数大小出发，证明此类问题通常转化为比较有理数的大小，这正是分析法的证明方法，故选B.3．[课本改编]用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是(　　)A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角答案　B解析　注意到：“至多有一个”的否定应为“至少有两个”，故选B.4．[2018·包头模拟]若实数a，b满足a＋b＜0，则(　　)A．a，b都小于0B．a，b都大于0C．a，b中至少有一个大于0D．a，b中至少有一个小于0答案　D解析　假设a，b都不小于0，即a≥0，b≥0，则a＋b≥0

4、，这与a＋b＜0相矛盾，因此假设错误，即a，b中至少有一个小于0.5．[2018·扬州调研]设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________．答案　m⇐a0，显然成立．6．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________．答案　①③④解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④都能使＋≥2成立．板块二　典例探究·考向突破考向　综合法证明例　1　已知sinθ

5、，sinx，cosθ成等差数列，sinθ，siny，cosθ成等比数列．证明：2cos2x＝cos2y.证明　∵sinθ与cosθ的等差中项是sinx，等比中项是siny，∴sinθ＋cosθ＝2sinx，①sinθcosθ＝sin2y，②①2－②×2，可得(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝4sin2x－2sin2y，即4sin2x－2sin2y＝1.∴4×－2×＝1，即2－2cos2x－(1－cos2y)＝1.故证得2cos2x＝cos2y.触类旁通综合法证明的思路(1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的

6、已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理．【变式训练1】　已知f(x)＝，证明：f(x)＋f(1－x)＝.证明　∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＋＝＝＝＝.故f(x)＋f(1－x)＝成立．考向　分析法证明例　2　已知a>0，证明：－≥a＋－2.证明　要证－≥a＋－2，只需证≥－(2－)．因为a>0，所以－(2－)>0，所以只需证2≥2，即2(2－)≥8－4，只需证a＋≥2.因为a>0，a＋≥2显然成立＝1时等号成立，所以要证的不等式成立．触类旁通分析法证题的技巧(1)逆向思考

7、是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证．【变式训练2】　已知正数a，b，c满足a＋b＋c＝1.求证：＋＋≤.证明　欲证＋＋≤，则只需证(＋＋)2≤3，即证a＋b＋c＋2(＋＋)≤3，即证＋＋≤1.又＋＋≤＋＋＝1，当且仅当a＝b＝c＝时取“＝”，∴原不等式＋＋≤