2018年高中数学 数列2.5等比数列的前n项和第1课时等比数列的前n项和学案新人教a版

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1、第1课时 等比数列的前n项和学习目标:1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用(重点).2.会用错位相减法求数列的和(重点).3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题.[自主预习·探新知]1.等比数列前n项和公式等比数列的前n项和公式思考:类比等差数列前n项和是关于n的二次型函数,如何从函数的角度理解等比数列前n项和Sn?[提示]可把等比数列前n项和Sn理解为关于n的指数型函数.2.错位相减法(1)推导等比数列前n项和的方法一般地,等比数列{an}的前n项和可写为:Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①用公比q

2、乘①的两边,可得qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,②由①-②,得(1-q)Sn=a1-a1qn,整理得Sn=(q≠1).(2)我们把上述方法叫错位相减法,一般适用于数列{an·bn}前n项和的求解,其中{an}为等差数列,{bn}为等比数列,且q≠1.思考:等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法吗?[提示] 根据等比数列的定义,有:===…==q,再由合比定理,则得=q,即=q,进而可求Sn.[基础自测]1.思考辨析(1)求等比数列{an}的前n项和时可直接套用公式Sn=来求.(  )(2)若首项为a的数列既是

3、等差数列又是等比数列,则其前n项和为Sn=na.(  )(3)若某数列的前n项和公式为Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0且q≠1,n∈N*),则此数列一定是等比数列.(  )[答案] (1)× (2)√ (3)√ 提示:(1)错误.在求等比数列前n项和时,首先应看公比q是否为1,若q≠1,可直接套用,否则应讨论求和.(2)正确.若数列既是等差数列,又是等比数列,则是非零常数列,所以前n项和为Sn=na.(3)正确.根据等比数列前n项和公式Sn=(q≠0且q≠1)变形为Sn=-qn(q≠0且q≠1),若令a=,则和式可变形为Sn=a-a

4、qn.2.等比数列{an}中,a1=1,q=2,则S5=________.31 [S5===31.]3.数列,,,…的前10项的和S10=________.【导学号:91432215】 [S10=+++…+,则S10=++…++.两式相减得,S10=+++…+-=-,所以S10=.]4.某厂去年产值为a,计划在5年内每年比上一年的产值增长10%,从今年起5年内,该厂的总产值为________.11(1.15-1)a [去年产值为a,从今年起5年内各年的产值分别为1.1a,1.12a,1.13a,1.14a,1.15a.所以1.1a+1

5、.12a+1.13a+1.14a+1.15a=a·=11(1.15-1)a.][合作探究·攻重难]等比数列基本量的运算 在等比数列{an}中,(1)S2=30,S3=155,求Sn;(2)a1+a3=10,a4+a6=,求S5;(3)a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求q.【导学号:91432216】[解] (1)由题意知解得或从而Sn=×5n+1-或Sn=.(2)法一 由题意知解得从而S5==.法二 由(a1+a3)q3=a4+a6,得q3=,从而q=.又a1+a3=a1(1+q2)=10,所以a1=8,从而S5

6、==.(3)因为a2an-1=a1an=128,所以a1,an是方程x2-66x+128=0的两根.从而或又Sn==126,所以q为2或.[规律方法] 1.在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,已知其中的三个量,通过列方程组,就能求出另外两个量,这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.2.在解决与前n项和有关的问题时,首先要对公比q=1或q≠1进行判断,若两种情况都有可能,则要分类讨论.[跟踪训练]1.在等比数列{an}中,(1)若a1=,an=16,Sn=11,求n和q;(2)已知S4=1,S8=17,求an.【导

7、学号:91432217】[解] (1)由Sn=得11=,∴q=-2,又由an=a1qn-1得16=(-2)n-1,∴n=5.(2)若q=1,则S8=2S4,不合题意,∴q≠1,∴S4==1,S8==17,两式相除得=17=1+q4,∴q=2或q=-2,∴a1=或a1=-,∴an=·2n-1或-·(-2)n-1.等比数列前n项和公式的实际应用 借贷10000元,以月利率为1%,每月以复利计息借贷,王老师从借贷后第二个月开始等额还贷,分6个月付清,试问每月应支付多少元?(1.016≈1.061,1.015≈1.051)思路探究:解决等额还

8、贷问题关键要明白以下两点:(1)所谓复利计息,即把上期的本利和作为下一期本金,在计算时每一期本金的数额是不同的,复利的计算公式为S=P(1+r)n,其中P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和.(2)从还贷之月起

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