2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.4.1曲线与方程课时作业北师大版

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1、3.4.1曲线与方程[基础达标]已知曲线C的方程为x2－xy＋y－5＝0，则下列各点中，在曲线C上的点是(　　)A．(－1，2)B．(1，－2)C．(2，－3)D．(3，6)解析：选A.代入检验知只有(－1，2)使方程成立．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线(　　)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于x－y＝0对称解析：选C.同时以－x代替x，以－y代替y，方程不变，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲线关于原点对称．在直角坐标系中，方程

2、x

3、·y＝1的曲线是(　　)解析：选C.当x＞0时，方程为xy＝1，又y＞0，故在第

4、一象限有一支图像；当x＜0时，方程为－xy＝1，又y＞0，故在第二象限有一支图像．已知定点A(1，0)和定直线l：x＝－1，在l上有两动点E，F，且满足⊥，另有动点P，满足∥，∥(O为坐标原点)，则动点P的轨迹方程为(　　)A．y2＝4xB．y2＝4x(x≠0)C．y2＝－4xD．y2＝－4x(x≠0)解析：选B.设P(x，y)，E(－1，y1)，F(－1，y2)(y1，y2均不为零)，由∥，得y1＝y，即E(－1，y)．由∥，得y2＝－，即F(－1，－)．由⊥，得y2＝4x(x≠0)．故选B.已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满

5、足条件

6、PA

7、＝2

8、PB

9、，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于(　　)A．9πB．8πC．4πD．π解析：选C.设P(x，y)，由题意＝2，化简整理得(x－2)2＋y2＝4，动点P的轨迹是半径为2的圆，其面积为4π.已知方程x2＋y2＋2x－4＝0的曲线经过点P(m，1)，那么m的值为________．解析：把P(m，1)代入方程得m2＋1＋2m－4＝0，即m2＋2m－3＝0，∴m＝－3或m＝1.答案：－3或1已知动点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点M的轨迹方程是________．解析：设P(x′，y′)，M(x

10、，y)，则即，由于P(x′，y′)在曲线2x2－y＝0上，∴2(2x)2－(2y＋1)＝0，∴y＝4x2－.答案：y＝4x2－如图，已知点P(－3，0)，点Q在x轴上，点A在y轴上，且·＝0，＝2.当点A在y轴上移动时，动点M的轨迹方程是________．解析：设动点M(x，y)，A(0，b)，Q(a，0)，∵P(－3，0)，∴＝(3，b)，＝(a，－b)，＝(x－a，y)．∵·＝0，∴(3，b)·(a，－b)＝0，即3a－b2＝0.①∵＝2，∴(x－a，y)＝2(a，－b)，即x＝3a，y＝－2b.②由①②，得y2＝4x.∴动点M的轨迹方程为y

11、2＝4x.答案：y2＝4x如图所示，已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A、B是圆上的两动点，且∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．解：设AB的中点为D(x0，y0)，Q(x，y)，在△ABP中，∵

12、AD

13、＝

14、BD

15、，又D是弦AB的中点，根据垂径定理，有

16、AD

17、2＝

18、AO

19、2－

20、OD

21、2＝36－(x＋y)．∴

22、DP

23、2＝

24、AD

25、2＝36－(x＋y)．∴(x0－4)2＋y＝36－(x＋y)，即x＋y－4x0－10＝0.∵代入上式，得＋－2(x＋4)－10＝0.即x2＋y2＝56.∴矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2＋y2

26、＝56.(1)长为2的线段AB的两端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，求线段AB的中点M的轨迹方程．(2)已知△ABC的两个顶点坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，第三个顶点C在曲线y＝3x2－1上移动．求△ABC的重心的轨迹方程．解：(1)如图，以这两条直线为坐标轴，建立直角坐标系，连接OM，设M(x，y)．由题意知，

27、OM

28、＝

29、AB

30、＝1，∴点M的轨迹是以O为圆心，1为半径的圆，∴点M的轨迹方程是x2＋y2＝1.(2)设重心坐标为(x，y)，顶点C(x0，y0)，依题意有解得①因为点C在y＝3x2－1上移动，所以y0＝3x－1.②将①代

31、入②，得y＝9x2＋12x＋3，即为重心的轨迹方程．[能力提升]在平面直角坐标系中，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝α＋β，其中α，β∈R，且α＋β＝1，O为坐标原点，则点C的轨迹为(　　)A．射线B．直线C．圆D．线段解析：选B.＝(3，1)，＝(－1，3)，设C(x，y)，即＝(x，y)，∵＝α＋β，∴(x，y)＝α(3，1)＋β(－1，3)，∴，∴.由α＋β＝1消去α，β得x＋2y－5＝0.方程

32、x

33、＋

34、y

35、＝

36、xy

37、＋1表示的曲线是________．解析：对于方程

38、x

39、＋

40、y

41、＝

42、xy

43、＋1，①当x≥0，y≥0时，x＋y＝x

44、y＋1即(x－1)(1－y)＝0，也就是x＝1，y＝1，这时曲线表示x＝1，y＝1在第一象限的部分及x轴，y轴上的点(1，0)和(0，1