仿射变换在有关椭圆面积的应用 数学毕业论文

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1、2014届本科毕业论文（设计）题目：仿射变换在有关椭圆面积的应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-3班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）目录1.引言12.预备知识12.1仿射变换12.2仿射变换坐标表示12.3仿射变换性质及放射不变量13.应用举例23.1有关椭圆面积的应用2结论5参考文献6致谢72新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）仿射变换在有关椭圆面积的应用摘要：仿射变换是几何中一个重要变换，它是从运动变换到射影变换的桥梁。灵活地运用仿射变换，能使一些初等几何问题由

2、繁到简。论文中，应用仿射不变性和不变量解决一般椭圆的有关仿射性质的命题，使仿射几何的知识和思想方法体现于解决初等几何问题中。关键词：仿射变换；不变性；不变量；椭圆2新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）1.引言高等几何是师范院校数学专业重要的基础课之一，它与初等几何、解析几何、高等代数等课程有紧密的联系，它对今后中学数学教师在几何方面基础培养、思维灵活、方法多样等方面起着重要的作用，从而有助于中学数学质量的提高和科研能力的培养。仿射几何是高等几何的重要组成部分，是连接高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道。椭圆是平面解析几

3、何的重要内容，也是天文学、宇航、物理学、科学技术领域内常用的曲线，因而研究椭圆有很重要的意义。2.预备知识2.1仿射变换定义：若有两个平面间（平面到自身）的一个点变换保持同素性、结合性和共线三点的单比不变，则这个点变换称为仿射变换。2.2仿射变换坐标表示根据仿射变换容易得到：椭圆M在仿射变换下，变为圆:2.3仿射变换性质及放射不变量图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量）称为图形的仿射性质（仿射不变量）。仿射变换保持同素性和结合性。仿射变换保持共线三点的简比不变。仿射变换保持直线的平行性。在此基础上我们还可以进一步得出非常有用的结论：性质1：8新疆师范大学201

4、4届本科毕业论文（设计）两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线，两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线，共点直线经仿射变换后仍变为共点直线。性质2：两条平行线段之比是仿射不变量，一直线上两条线段之比仿射不变量。性质3：两封闭图形面积之比是仿射不变量。3.应用举例3.1有关椭圆面积的应用大家知道，椭圆经过仿射变换，它的对应图形是圆，所以研究椭圆的仿射性质可以取圆为代表。研究了圆的相应性质，椭圆的性质也就知道了。对于只含有平行性、结合性、简比性、面积比等仿射性质的椭圆问题，只需对圆进行研究，这样能达到事半功倍的效果。下面举例说明。例1求椭圆的面积。解设在笛卡

5、儿直角坐标系下椭圆的方程为经过仿射变换图1-1①其对应图形为圆.如图1-1，在仿射变换①之下，，，，所以对应，其中.根据定理4.3推论2，有所以8新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）因此所给椭圆面积为.例2求证椭圆的最大内接矩形的面积为2ab.如图2-1，设此椭圆可有一圆经仿射变换T后得到图2-1可以证明，当圆的内接矩形面积为最大值时，其对应的椭圆的内接矩形的面积也相应最大值，否则它们的面积之比不等于常量。现设圆半径为，椭圆的短半轴为，长半轴为，因园的最大面积的内接矩形为内接正方形，其最大面积为；又椭圆的面积为，根据仿射变换的性质，得，即,故.例3求证椭圆

6、的内接三角形面积的最大值为。证如图3-1设此椭圆是有一个圆经过仿射变换后得到。设半径为，椭圆的长，短半轴分别为、且圆内三角形面积最大的为圆内接正三角形，面积为。8新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）图3-1根据仿射变换的性质即：故.例4如图4-1，设为椭圆的中心，为椭圆外一点，、,为所引的两切线A、B为切点，求证Ⅰ、Ⅱ两都分的面积相等。图4-1证设椭圆是有经过仿射变换T得到，且的想就是，过作圆的切线、.因仿射变换是一一对应，又具有结合性，故,从而,但是、，显然故.例5阿波罗定理，椭圆一对共轭半径为邻边的平行四边的面积为定值。证如图5-1设椭圆的长半轴和短半

7、轴，设椭圆的长半轴，短半轴8新疆师范大学2014届本科毕业论文（设计）图5-1显然这两个半轴共轭，且设次椭圆是由圆经过仿射变换得到，且今共轭半径、分别是共轭半径侧、的象，任意对共轭半径、是圆中共轭半径、的象。因、共轭，故同理故圆中以共轭半径为邻边的平行四边形实际都是面积相等的正方形由仿射变换的性质得知故即由的任意性，得知命题正确，且这个值是以椭圆半轴为边的矩形的面积。结论通过以上例题可以看出，我们不但能够求出圆的扇形面积，也能求出椭圆的扇形面积，只要给出椭圆上的两点即可，这个结论在初等几何中没有的。综上，椭圆的有关放射性质的问题可以转化为圆的问题来解决，为解题或

8、证明带来极大的方便，对初