仿射变换在共线共点问题中的应用 数学毕业论文

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1、新疆师范大学数学科学学院2012届数学与应用数学专业毕业论文2014届本科毕业论文仿射变换在共线共点问题中的应用学院：数学科学学院专业班级：数学与应用数学09-（3）班学生姓名：指导教师：答辩日期：2014年5月8日新疆师范大学教务处２新疆师范大学数2014届本科业毕论文目录引言................................................................2一、仿射对应与仿射变换...............................................2二、仿射性质...........................

2、.............................3三、仿射变换在共线共点问题中的应用..................................4总结................................................................9参考文献...........................................................10+10新疆师范大学数2014届本科业毕论文仿射变换在共线共点问题中的应用摘要:本文从仿射几何和仿射几何的一些理论与方法出发，探讨它们在初等几何的共点共线问题.本论文分

3、为五大部分，分别是引言，仿射对应和仿射变换，仿射性质，仿射变换再共线共点问题中的应用和总结.首先给定了透视仿射对应，仿射对应和仿射变换的定义和性质.接下来利用这些定义推出了七个仿射性质（仿射不变量）.最后利用仿射性质和仿射变换来解决几个实际图形的共线共点问题.关键词：仿射对应，仿射变换，仿射性质，共线，共点，单比.10新疆师范大学数2014届本科业毕论文仿射变换在共线共点问题中的应用引言仿射变换是高等几何的重要组成部分，它是从欧氏几何到射影几何的桥梁，是联结高等几何与初等几何的纽带，是应用高等几何知识解决初等几何问题的一条重要通道.本文讲述了仿射变换及其性质，然后提到实际问题和例子再讨论

4、仿射变换在共线共点上的应用.实际上仿射变换的应用是多种多方面的，但这篇文章中我只讨论仿射变换在共线共点问题中的应用.一、仿射对应与仿射变换定义1.1在平面上设有直线和,为此平面上与，均不平行的另一直线，通过直线上个点…分别作与平行的直线，顺次交于…,这样便得到直线上点到上点的一个一一对应，称为透视仿射对应.定义1.2设同一平面内有条直线，如图（2）.顺次表示到，到，到的透视仿射对应，经过这一串透视仿射对应，使上的点与上的点建立了一一对应，这个对应称为到的仿射对应，用表示，于是有如果直线与重合，则到的仿射对应叫做直线到自身的仿射变换.仿此可以得到二平面间的仿射对应.平面到的仿射对应.如图（

5、1）如图（2）所以两平面间的仿射对应也是有限次透视仿射对应的结果.当与重合时，称为平面到自身的仿射变换.由于仿射对应和仿射变换都是一串透视仿射对应的乘积（称为透视仿射对应链），因此不难证明它们具有下列性质：（1）保持同素性和结合性；（2）保持共线三点的单比不变；10新疆师范大学数2014届本科业毕论文（1）保持直线的平行性.但对两个点集来讲，在仿射对应下，对应点连线不一定平行.现在也可以直接用前两个性质定义仿射对应(变换).定义1.3若两个平面间(平面到自身)的一个点对应(变换)保持同素性,结合性和共线三点的单比不变,则这个点对应(变换)称为仿射对应(变换).注意在这个定义下，可以证明仿

6、射对应(变换)保持两直线的平行性.据此还可以证明，平行四边形经过仿射对应(变换)后，对应图形仍为平行四边形；两条平行线段经过仿射对应(变换)后，其长度之比不变.二、仿射性质下面我利用这些定义推出了一些性质.我们在高等几何中已学过仿射变换的定义和仿射变换的一些性质.它在高等几何中的作用和地位是不能小看的.它的应用是多种多方面的.如:它在共线共点问题中的应用,在椭圆问题上的应用...等等.定义2.1图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）.性质1两条平行直线经仿射变换后仍变为两条平行直线.性质2两条相交直线经仿射变换后仍变为两条相交直线.性质3共点直线经仿射

7、变换后仍变为共点直线.性质4两条平行线段之比是仿射不变量.性质5两个三角形面积之比是仿射不变量.性质6两个多边形面积之比是仿射不变量.性质7两个封闭图形面积之比是仿射不变量.以上说过的仿射变换的7个性质之中我们只证明性质5,其他的很容易得出的所以全部忽略.证明设在笛卡儿坐标系下,已知不共线三点,经过仿射变换后,对应点为，于是10新疆师范大学数2014届本科业毕论文的绝对值（1）的绝对值（2）将把代入（2），得的绝对值的绝对值所以同理