仿射变换应用q&a

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1、仿射变换应用Q&AQ:上次推送给的三条性质是什么意思啊？A:性质1变换后共线三点单比不变(即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样).性质2变换后保持同素性和接合性(即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切).性质3变换前后对应图形的面积比不变.最重要的是同一条直线上的三个点分线段的比例（还记得解几里背的定比分点成比例的公式么？）不会随着这个变换改变，并且本来平行的直线变换后仍然平行。事实上仿射变换在平面上是由下面这些变换组成的（来自维基百科）：平移（Translation）、缩放（Scale）、翻转（Flip）、旋转（Rotation）和错切（She

2、ar）。而我们如果仅仅在椭圆中运用变换的话，其实最主要的是缩放。大家应该碰到过这样一件事情：看电影的时候4:3的影片投射到16:9的屏幕上的时候图像发生了一些变换，比如像刘某人这样的锥子脸可能就变成了圆脸，但是不管怎么变，在同一张屏幕上我还是要比刘宇瘦很多的。换句话说，仿射变换下，直线还是变成直线，圆弧还是圆弧（请不要对号入座），二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，而直线上点的位置顺序不变。所以定比分点的比例，进而面积的比例，角度的比例，都不会变换。因为比较的两个几何量都同比例地变换了。但是要注意，向量的夹角是会变化的，所以直线的斜率会变，平行

3、线仿射后仍平行，垂直线段仿射后就不一定了。此外线段的比例，如果两条线段不共线，是可能发生变化的。Q:仿射变换我能理解，但是怎么具体运用到做题当中？A：我们就举一道杨浦区一模的题目来做例子吧。在用仿射变换之前先看看适不适合用仿射变换。如果是求轨迹方程类型的题目，就不太适合用仿射变换，而像这道题中出现了面积的比例，求解面积最大值这样的问题的时候，就适合用仿射变换。一句话，出现定比分线段、面积比例、求解面积、线段长度最大最小值、以及相切问题的时候，可以考虑仿射变换。第二步，建立仿射坐标系和原坐标系的关系。设是新坐标系的点的坐标，（x，y）是原坐标系下的坐标。那么

4、根据方程我们知道就是把长轴缩短一半。第三步，将原坐标系下的量在新坐标系下的值写出。本题中也就是写出第四步，在圆内解决这个问题。比如第一题第一小问，其实就是求出直线的截距（不妨设为）的纵坐标。我们就设所求的纵坐标为y,。我们可以首先求出直线的表达式：和在圆内，,所以,所以面积比等于线段比的平方，即,又因为是直径，所以，即（当中用到了在圆上的结论）而根据方程，，所以，所以y=2.第一题的第二问，告诉我们的比例关系在仿射下不会改变，并且注意到在圆内与是相似的，所以即，所以，第四步，带回原来的坐标系。我们算出来的这个点在轴上，所以在原来的坐标系下的纵坐标也为2.而

5、计算得到的m并不是一个几何量，在变换中也没有改变.于是就得到了答案。Q:那是不是所有的椭圆的题目都可以用仿射变换呢？A:并不一定。还是举刚刚的例子，这一道题的第二问就不适合用仿射变换来解决。题目的条件中有两条垂直直线，并且曲线既有椭圆也有圆。一方面，在仿射变换中，垂直关系将不再保持，而垂直对于解决这道题所求的面积来说是一个非常重要的简化条件。另一方面，在椭圆的外接圆，内切圆问题中，运用仿射变换不能将所有的曲线都变为圆，仍变为椭圆与圆的关系，在本质上没有化简运算，因而在不能将圆的条件剥离出来的条件下不推荐使用仿射变换。Q:那双曲线与抛物线有没有仿射变换呢？A

6、:有的，在双曲线与抛物线的问题中我们还可以引入旋转变换，将双曲线变为xy=1的形式，抛物线变为的形式。然而在大多数的情况下，这样的变换并没有带来本质的化简，在计算题的求解中不推荐使用。在填空、选择快速找出答案的过程中可以尝试，前提是清楚旋转的角度（xy=1可以由标准方程逆时针旋转45°得到）Q:在高考中能不能使用仿射变换？A:你这么吊你的高中老师不一定知道，强烈不推荐使用。你可以用仿射变换解出答案，再在原坐标系下证明这个结论。Q:在自招中能不能使用仿射变换？A:在椭圆的题目中，用吧，亲。按照上面讲的五部曲。详细内容请戳下章真题。真题选讲·千分考编