数列概念与等差数列

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1、数列的概念和等差数列（文）一周强化一、一周知识概述数列的概念是数列的基础。其中通项公式和前n项和的求法是高考的必考内容，数列实质上是一个特殊的函数，它是定义在N・（或它的子集）上的函数，因而在解决数列问题时，一方面要利用函数的思想、函数的观点、函数的方法来解决数列问题；另一方面还应注意数列的特殊性，也就是解决数列问题的特殊方法。二、重、难点知识的归纳与剖析（一）本周复习的重点1%1一吊（心2）"递増数列.递减数列数列摆动数列I常数数列3、等差数列的通项公式a=ai+（n-l）d推广式a„=a,.+（n—m）d4、等差数列的求和公式Sf21)=+d25、等差数列的性质（

2、1）若m、n、p、qWN+且m+n二p+q,则a„+a：=aI>+a<1（2）在等差数列中，依次每k项之和仍成等差数列.a+b6、A是a、b的等差中项u>A二27、三个数成等差数列，可设其为a-d.a、a+d四个数成等差数列，可设其为a-3d,d-d、a+d.a+3d.(二)本周复习的难点1、分别用累加法求具有a/a汁f(n)的数列的通项，—=/(«)用累积法求具有勺的数列的通项.用拼凑分离法，求具有an.i=Aa„+B(A、B为常数)的数列的通项.2、数列｛a,为等差数列的判定和证明①证明方法：定义法即若一个数列｛弭满足a.-a.Fd(d是一个与n无关的常数)，则数

3、列｛aj为等差数列.②常见的判定方法(充要条件)：若一个数列｛aj满足氐二Qn+b或S=an2+bn(a>b为常数)或2a”L缶+恥,则这个数列为等差数列.3、等差数列前n项和公式的函数性质-1)dAdd=—n+(q・.•Sn二n&+222dd设A二2,B二2,上式可写成S.=An2+Bn,当dHO即AHO时，S“是关于ri的二次函数式(其中常数项为0),那么(n・S»在二次函数y=Ax2+Bx的图象上.由二次函数的性质可知，当d>0时，S.有最小值；当d〈0时，有最大值.三、例题点评例1、已知数列｛%｝的前n项和求通项：(1)Sn=(-l)n+,・n(2)S=2'-

4、2分析：利用数列｛aj的通项公式缶与前n项和S,的关系即可求解.解答：(1)a,=S=1当n^2时，a,=Sn—Sn-i=(—l)n"•n—(—l)n(n—1)二一(一l)n•n-(—l)n(n-l)=(-l)D(l-2n)Ta)=l适合上式，缶二(一1)"•(1—2n)(2)当心2时,a=S„-S：1-.=2：1-2-(2'-1-2)=2"-2n-=2n-当n=l时,a.=S,=0不适合上式,Jo(M=l)(心®点评:S](«=1)an与Sn的关系⑴鼻2),是一个非常重要的关系，根据这一关系，若知数列的前n项和Sn,则数列的通项&一定可求，但首项&是否符合比二S「一

5、SnT,需进一步验证，若不符合，则乩需用分段函数表示，否则可合写为一个式子.例2、己知数列的通项公式为”屏+1.(1)0.98是不是它的项？(2)判断此数列的增减性和有界性.分析:数列的项数为正整数，此题即是研究屏+1=0.98是否有正整数解.判断数列的增减性和有界性，即是考虑aI1+-a..的符号和对任何的nWN,使得

6、a」＜M的常数M是否存在.解答：(1)r=0.98设刃+1解得n二7,所以0.98是此数列的第七项;(闻+1尸_屏_2刃+1(刃+1尸+1屏+1[(闻+1乎+1](屏+1)故此数列是递增数列.・・・此数列是有界数列.点评：理解数列中的有关概念，注意区

7、别数列的项、项数、通项等概念，明确并非所有数列都有界.例J已知等差数列｛缶｝共2n+l项，其中奇数项Z和为290,偶数项Z和为261,求第n+1项及项数2n+l的值.分析：本题考查等差数列的性质，此等差数列的项数为奇数，a-为中间项，可利用—=S侮一S仪,S奇+S沪(2n+l)a屮进行求解.解答：对于等差数列｛比｝,有a中=8n+】=Sgj—S骋=290—261=29(2n+l)q中二S奇+S沪290+261=551/.2n+l=19故第n+1项为29,项数为19.点评：灵活利用等差数列的性质求等差数列的五个量可简化运算，提高解题速度及准确率.例4、已知数列｛an｝的

8、前n项和S=32n—n:,求数列｛

9、an

10、｝的前n项和Tn.分析：由3可求出缶，从而确定在｛a“｝中哪些项是正数项，哪些项是负数项，再来求｛

11、aj｝的前n项和.解答：当nN2时,a=Sn—Sn-t=(32n—n2)—[32(n—1)—(n—l)2]=33-2n又ai=S>=31适合上式Aar=33-2n.33由a„=33-2n^0得nW2=16.5.所以等差数列｛an｝中前16项为正数项，从第17项开始，各项为负数，因此:当0〈nW16时，T=Sn=32-n2当nN17时Tn二S16—(an+ain+aiyH-•••+a„)=2S”—S“=-(32n