循环小数的奇妙结构

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1、循环小数的奇妙结构摘要：木文阐述了被除数为质数时产生的儿种循环小数的多种奇妙现象，进而分析了被除数为合数的相关余数的规则性，揭示了自然界存在的一种数理，并分析了一个偶位数循坏节是否有半九律。关键词：循环节余数互质1、产生循环节的余数之间的奇妙关系1」在a/b中，（a为整数且1

2、013729表1表1中，a=3与a=l在计算过程中依次出现的余数Z间分别有一种3倍的关系：依次为1*3=310*3=3018*3=5416*3=4837*3=111,前两个数值能直观地看出是3倍的关系，而111、48、54用41进制來表示，十位数字分别为2、1、1,其个位数分别为29、7、13。在02439*3的计算小，0、2、4、3、9分别乘以3所得为0、6、12、9、27,以此为序，27进2到9后其个位为7,9加进来的2后为11,11进1后其个位为1,12加上进位來的1为13,13进1后其个位为3,6加上进位的1

3、后为7,没有再进位，所以0不变。三次所进数字2、1、1与以上用41进制表示的三个数的十位数字相同。把进位后的数字依次写出为07317,与02439*3相同。于是可以得出结论：同一个质数为除数产生的多个循环节小，每个循环节相同位置上的数字之间与产生这些数字的相关余数之间隐含有同样的比例关系。1.2在a/b化小数过程中，若A+A=E,（A、A皆为从1到b・l当中的任意整数）则A/b产生的循环节加上A/b产生的循坏节是E/b所产生的循环节。若E/b=Z+v,Z为整数，v为小于b的余数，则v/b产生的循环节与E/b所产生的循

4、环节首尾都是一样的。若E+A=C*b,C为整数，A/b=Z+v,Z为整数，v为小丁b的余数，则v+v=bo1.3如表2所示,a/b化小数中以b=19为例，用表格的形式列出1/19的循环节数字及其相关余数。（表中第一行第j位是第二行第j+1位的个位数，这是b的个位为数字9的原因）。表格屮第一行为循环节，第二行为相关余数052631578947368421110512631115171891471316842表2把表2中其相关余数从1到10到…到2的方向依次编为a到a到…到a,便于直观，我从a开始，发现a是a的2倍，即2

5、*2=4,同样，a也是a的2倍，再以a的13和a的16为例，16*2=32,32用19进制表示其个位为13,依次看下去，a也是a的2倍，余数a都是a的2倍这种隐含的存在全部成立。结论：在a/b化小数吋，其先后出现的余数屮，如果a与a之间有某种差、和、倍的关系，则a与a也冇这种差、和、倍的关系。又如：从a到a中，a+a+a=a即a是成立的：2+4+8=14。那么，a与a+a+a也有这种隐含的关系，a+a+a=6+3+11=20,用19进制表示其个位数为1即a。例：表1中a为a=3时，a=11,3+11=14为a。再如：

6、a+a+a+a的个位为0成立，那么a+a+a+a的个位为0也成立，（这里的0是19进制的0）。等等。以上是以b为19时产生的现象,当b为别的质数时，同样会有这种类似的或别的关系。结论：在a/b化小数中，产生的任何一个循环节里，如杲依次出现的某顺序上余数Z间存在着某种关系时，只要符合这个顺序关系的其它的余数Z间也存在同样的关系。1.4在十进制屮，整数Z是否能被整数b整除，要看Z的个位上的数字乘以10,加上十位上的数字乘以（10/b）的余数，再加上百位上的数字乘以（10/b）的余数，……再加上n位上的数字乘以（10/b）

7、的余数，（可将所得的结杲按同样步骤重复计算，直到最后成一个位数与b相同的数），它能被b整除，Z就能被b整除。若Z是一个由9组成的n位数,个位十位百位到10位都用9去乘以每位上相应可以得到的余数后相加，若能被b整除，则这个数Z也就能被b整除。以b=19为例，其除十进制10（n为从0到18的整数）每位上所得的数字刚好与1/19化小数过程中所得循环节的齐个余数相同，见表2第二行。即：9*（a+a+...+a）,（j

8、果为19的整数倍，19才是j位9组成数的一个因数。当b=19吋，j=b・l=18。除质数3以外，所有的质数都不含9的任何因数。当b=3时,无论（a+a+..・+a）的结果是什么,9*（a+a+・・.+a+...+a）的结果都能被3整除。所以当b=3时，产生循环节时其相关余数Z和可以不是3的整数倍。结论：在a/b（1#3）化小数屮，产生循环节时把