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《等差等比数列中的子数列问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、等差、等比数列的子数列的探究一、定义子数列若数列｛b讣是由数列伉｝的一些项按原来的顺序构成的一个新数列，则称数列｛仇｝是数列仏｝的子数列。二、讨论等差数列是否存在等差子数列1、学牛举例：（1）设=a（a为常数），则任取一些项组成的数列都是等差子数列。（2）an中有子数列乞=2n-,bn=2n,bn=5〃等。391（3）an=-n-中有子数列仇=3n-l,bn=一〃+—等222小结：只要首项不同，公差不同就可以确定不同的等差子数列。2、从具体的例子中小结出如何寻找等差子数列，以及子数列的公差和原数列的公差之间的关系，从而得出结论：（1）等差数列中下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等差数列。
2、（2）新的等差数列的公差等于原等差数列的公差的k倍。3、证明结论：设｛%｝是等差数列，d是公差，若佥是子数列的相邻两项，an-am=（n-m）d,当n-m-k为常数时，afl-am=（斤一加）〃=Zed也是常数。三、讨论等比数列是否存在等比子数列1.学生举例：（1）设a“=a（ci为常数），则任取一些项组成的数列都是等比子数列。（2）j=2n中有子数列仇=22n~［和仇=2刃等。（3）aM=2（
3、）w-1中有子数列^=2（
4、）n等。3小结：只要首项不同，公比不同就可以确定不同的等比了数列。2.从具体的例子中小结出如何寻找等比子数列，以及子数列的公比和原数列的公比之间的关系，从而得出结论：（1）
5、等比数列屮下标成等差数列（公差为k）的项仍然成等比数列。（2）新的等比数列的公比等于k个原等比数列的公比的积。3.证明结论：设仏｝是等比数列,q是公比,若％®是了数列的札I邻两项，仝=严，当n-m=k为常数时，仏=qz=qk也是常数。四、讨论等差数列是否存在等比子数列k学生举例：中有了数列br=2n-｝和仇=3心等。(自然数列是学生最容易想到的，除了白然数列之外，其他的数列不容易想到)2给出-一个例子一起研究。例1.己知：等差数列｛an｝,且an=3n-l.问:等差数列血｝中是否存在等比子数列｛c”｝?(1)写出｛色｝的一些项:2,5,8,11,14,17,20,23,26,29,32,…,学
6、生尝试后找出结果有:©2,8,32,128,512,…，②2,14,9&686,4802,・・・，2・7”t;③2,20,200,2000,…，2・10心；④5,20,80,320,…，5・4小；⑤2,26,33&…，2・13心(2)猜想：①q=2・4i②=2-7/,-1；③c”=2・10"T；④⑤二2.13心(3)提问：这些猜想是否正确呢？我们可以从两个方而进行思考：通过演绎推理证明猜想为真，或者找出反例说明此猜想为假，从而否定或修正此猜想。(4)学生分组证明猜想分析：2・4心的项被3除余2,从而得出利用二项式定理证明的方法。证1：(用二项式定理)•・・2・4"T=2・(3+1)”t=2©+
7、l)=6R+2(keTV),即2-4W_1除以3余2,・・・｛c“｝是仏｝的子数列。分析：由前而儿项符合推广到无穷项都符合，从而得出利用数学归纳法证明的方法。证2：(数学归纳法)①当n二1II寸，C]=2=3x1-1=d
8、②假设当n二k时，ck=22a_1=3/n-1=am(meA^),那么当n=k+l时，cA+1=2/如h=22^*=4•22*-1=4-(3m-l)=3-(4m-1)-1=.由①、②得cn｝是｛勺｝的子数列。(5)同理证明c“=2-7w~1=2-(6+1),,_,=3k+2,kwN;c”=2-10/,_1=2・(9+1)”t=3k+2,keN,cn=5-4rt_I=5・(3
9、+1严=3k+2,keN;j=2・13心=2・(12+1)心=3k+2任N.(1)引申：让学牛找规律——以色中任一项为首项，以3E+1伙wN)为公比的等比数列均是该等差数列的等比了数列(2)小结：归纳法是从特殊到一•般的推理方法，而由此所作出的猜想是需要进一步证明的。从归纳猜想到论证的思维方法是我们研究数学问题常用的方法。(3)思考:对给定的等差数列可以构造出等比数列,不确定的等差数列中是否存在等比数列？例2已知：数列仏｝是首项4=2,公差是d的等差数列。数列｛仇｝是等比数列，且b｛=a^b2=a2。问：是否存在口然数d,使得数列｛仇｝是数列｛色｝的子数列？如存在，试求出d的一切可能值分析：先
10、取d二1,2,3,4,5,6o发现当d是奇数时，不可能。・・・。2是奇数，・••公比空为分数，则仇=2・(鱼)心从第三项开始就不是H然数-22取42,｛%｝：2,4,6,8,…，｛/?”｝：2,4,8,16,…,色=2仏仇=2",・.・2"是偶数,・・・d二2时，数列｛仇｝是数列&,｝的子数列取d二4,cin｝:2,6,10,14,18,…，｛/??1｝:2,6,18,54,…，an=4n-2,
