二项分布的期望与方差的证明

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时间:2019-03-21

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1、二项分布的期望与方差的证明二项分布是概率统计里面常见的分布,是指相互独立事件n次试验发生x次的概率分布,比较常见的例子。种子萌发试验,有n颗种子,每颗种子萌发的概率是p,发芽了x颗的概率就服从二项分布。   如果还是迷茫,就听我说说故事,在古代,大概明末清初的时候,瑞士有个家族,叫伯努利家族,出了很多数学家,有一位叫詹姆斯·伯努利(JamesBernoulli)的,比较喜欢做试验,他的试验有特点,是一系列的试验,没发生就是失败,而且每次的成功概率都是p,若果失败了就是q=(1-p),只有这两种情况,后来人们给了这除了成功就是失败的性质一个比较抽象的名称,叫相互

2、对立事件。在这些试验中,每次得出的结果与其他次试验都不发生关系,同样人们也给了这种不发生关系的性质一个比较抽象的名称,叫相互独立事件,同时把这种试验叫做伯努利试验。在n次伯努利试验中,发生x次的概率满足二项分布。   如果令q=(1-p),那么很容易得出发生x次的概率为C{x,n}*p^x*q^(n-x),因为决定该分布的只有n、p,所以为了简单起见,人们把x服从n,p的二项分布记做x~B(n,p)。   现在的目标是计算二项分布的期望和方差,在网上寻找二项分布的期望和方差大都给一个结果,np、npq,很难找到它是怎么来的。好不容易查到,还是花钱才能看的,就那

3、几步过程,有必要藏着盖着吗?今天我把过程写出来,让大家都了解了解,都是原创,互相学习,希望支持。   首先,不厌其烦地说一下期望与方差的关系,以便清晰思路。期望用E表示,方差用D表示,一般把自变量记做ξ,如果对于结果为ξ的概率为Pξ那么,其期望为Eξ=∑ξ*Pξ,方差为Dξ=∑(ξ-Eξ)^2*Pξ,另外还有一个常见的量叫做标准差,一般用σ表示,σξ=√Dξ,根据方差的概念,可知:Dξ=∑(ξ-Eξ)^2*Pξ  =∑(ξ^2+Eξ^2-2*ξ*Eξ)*Pξ  =∑(ξ^2*Pξ+Eξ^2*Pξ-2*Pξ*ξ*Eξ)  =∑ξ^2*Pξ+Eξ^2*∑Pξ-2*

4、Eξ*∑Pξ*ξ因为∑Pξ=1而且Eξ=∑ξ*Pξ所以Dξ=∑ξ^2*Pξ-Eξ^2而∑ξ^2*Pξ,表示E(ξ^2)所以Dξ =E(ξ^2)-Eξ^2  下面计算数学期望,Eξ=∑{ξ =0,n}ξ*C{ξ ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)  =∑{ξ =0,n}ξ*n!/ξ!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)   =∑{ξ =1,n}n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^ξ *q^(n-ξ)   =n*p*∑{ξ =1,n}C{ξ-1,n-1}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)   =n*p*(p+q)^(n-1) =n*p   如果要计算方差,根据公

5、式Dξ =E(ξ^2)-Eξ^2可得出结果,过程如下,Dξ =E(ξ^2)-Eξ^2   =∑{ξ =0,n}ξ^2*C{ξ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)- n*p*∑{ξ =0,n}ξ*C{ξ ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)    =n*p*∑{ξ =1,n}ξ*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*p^(ξ-1) *q^(n-ξ)- n*p*∑{ξ =1,n}ξ*C{ξ ,n}*p^ξ *q^(n-ξ)    =n*p*∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*(C{ξ-1,n-1}-C{ξ ,n}+C{ξ ,n}*q)    =n*p

6、*∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*[C{ξ ,n}*q-(C{ξ ,n}-C{ξ-1,n-1})]    =n*p*[∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ ,n}*q-∑{ξ =1,n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*ξ*C{ξ,n-1}]    =n*p*[∑{ξ =1,n}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*n!/(ξ-1)!/(n-ξ)!*q-∑{ξ =1,n-1}p^(ξ-1)*q^(n-ξ)*(n-1)!/(ξ-1)!/(n-1-ξ)!]     =n*p*[∑{ξ =1,n}n*q*C{ξ-1,n-1}

7、*p^(ξ-1)*q^(n-ξ)-∑{ξ =1,n-1}(n-1)*q*C{ξ-1,n-2}*p^(ξ-1)*q^(n-ξ-1)]     =n*p*[n*q*(p+q)^(n-1)-(n-1)*q*(p+q)^(n-2)]     =n*p*[n*q-(n-1)*q]     =n*p*q  以上就是二项分布的期望与方差的证明,过程比较简单,就是一个思路,要想更深入的领悟,就须要自己亲自地证明一遍了,也许你的方法将会更简单……

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